匡世珉，INTP，邀请可能不回答 谢邀，不知道题主问的是不是这种情况： 固定一端，沿箭头方向扭转另一端绳子，绳子的中部就会自动拧卷在一起（我可怜的充电线）。这是因为绳子扭转时产生了内部应力，中部的拧卷可以减少扭转，也就是减少应力…… 好吧我不说物理了，还是谈谈数学。 这其实是因为，其中是环绕数，是绞拧数，是扭转数，而是同痕不变量，所以扭转数与绞拧数的和是守恒的。 扭转数减少了，绞拧数就会相应增加，反之亦然。美国几何学家怀特在其1969年发表的博士论文里证明了该公式。 好，接下来我试着解释一下。 首先，第一个概念。如果一个纽结或链环能在不剪断不粘合的情况下连续地变成另一个纽结或链环，那么这两个纽结或链环就是同痕的，比如两个同痕的纽结： 两个同痕的链环： 你问纽结和链环有什么区别？简单来说，纽结就是一个圈，链环就是随便多少个圈。所以，纽结也是一种链环，被称为平凡链环。 而同痕的本质可以由三种基本变换（通常被称为初等变换）来刻画： R1（消除或添加一个卷）： R2（消除和添加一个叠置的『二边形』）： R3（三角形变换）： 注意，这三种初等变换是在局部进行的，在变换的部分不能有其他线介入，比如： 正确的变换会得到不一样的结果： 如何证明两个链环同痕呢？我们可以找一种方法通过初等变换把一个变为另一个，比如下图的左上与左下两个纽结同痕： 可是怎么证明两个链环不同痕呢？这就难了，因为找不到初等变换的方法并不意味着方法一定不存在。所以，我们需要借助一些别的工具，比如琼斯不等式。不过这跟本文关系不大，就不具体介绍了。 每一条闭曲线都有两个相反的绕行方向，当我们把链环的每一个圈都选定方向之后，这就成了有向链环。 接下来我们跟有向链环的投影图的交叉点赋予正负号： 也就是说，如果上线的箭头旋转到下线的箭头的最小转角是逆时针方向的，则交叉点为正；顺时针方向的为负。 一个有向链环的投影图的全体交叉点的正负号之和称为的拧数，记作。拧数在R2和R3这两种初等变换下显然不变，但是R1则会使其改变…所以拧数并不是一个同痕不变量。 那有什么是同痕不变量呢？环绕数。它衡量的是两条有向封闭曲线互相环绕的程度。 设是有向链环的两个分支，则的环绕数定义为与的交叉点正负号和的一半。这样，R1、R2和R3都不会改变环绕数的值，所以环绕数是同痕不变量。 注意，计算环绕数时的交叉点不包括的自我交叉点，也不包括的自我交叉点，同时也不包括与其他分支的交叉点。当只有这两根分支时，可以简写为。 例如： 这就可以表明上图中的两个链环不同痕，因为它们的环绕数不同。 环绕数是高斯在研究电磁现象时首先提出的，不过对此我就不介绍了…… 好，环绕数可以干嘛？不急，先看图： 我们把上图左边的形态称为拧，右边的形态称为扭。 拧和扭可以互相转化，不信请看： 现在我们来考虑封闭的、有两条边的、双侧的带子。莫比乌斯带不在考虑范围内，因为它是单侧的，并且只有一条边。 带子的两条边取相同的方向，这样可以得到一个有向链环。它的两个分支，即两条边，记作。 的投影图看起来像两条平行的曲线，由拧和扭的小段构成。 扭转部分对环绕数的贡献为： 上边的形态称为正扭转一周，下边的形态称为负扭转一周。表示整个投影图上扭转周数的总和（正负相消）。 拧卷部分对环绕数的贡献为： 这恰好等于这部分对于拧数的贡献。 而环绕数是扭转部分与拧卷部分的贡献之和，所以。 举个例子： 公式可以看出一个守恒定律。当带子在空间中连续地变形时，拧数和扭数都会改变，但是它们的和是一个同痕不变量。 通常的绳子都可以当做带子来考虑，带子的一条边是绳子的中心线，另一条边则是表面的一条标志线（记录了绕中心线扭转的情况），如图： 所以，对于绳子来说，拧数和扭数的和不变。这大概（？）就可以回答题主的问题了吧。 不过，与开头所说的略有区别。是从所有可能的方向看时，的投影图拧数的平均值；而则有更复杂的定义，这里就不细说了。 有兴趣的话，可以看看《绳圈的数学》这本书。只需要有高中数学的知识就可以理解书中的绝大部分内容，而如果有一点微积分的知识，就可以理解全部内容。 这本书也是这篇回答的参考资料。 那么就这样=w= 查看知乎原文
