长尾科技，公众号：长尾科技 看到这个标题，你是不是整个人都是懵的？ 为什么 2 不等于 5？为什么 2 不等于 5 你心里没点数么？小学毕业了么？小学数学是体育老师，呸，体育老师也不背这个锅。小学数学是猴子教的么？你咋不问为什么猪不等于鸡呢？ 说完了么？如果你说完了，我还是要再问一次：为什么 2≠5？您可愿意教我？ 这个问题跟《几何原本》的内在逻辑是一样的。 我在《几何原本》篇里反复强调过「我们做的一切判断和操作都必须从公设、公理、定义中找到合法依据」，今天希望用这个完全超出大家心理预期的「蠢」问题让你彻底意识到这一点。 为什么 2≠5 是一个严肃的问题呢？ 我倒想先问你，为什么你会觉得这个问题不可理喻？你认真想一想，你有什么理由认为 2≠5？你证明了吗？你有依据吗？ 我前面反复强调，我们做的一切判断都必须从公设、公理、定义中找到根据，你以为这只是《几何原本》的要求么？》不，这是公理化数学的要求！ 那你再想一想，有哪条公理、公设可以证明 2≠5？哦不，可能更多人的问题是：啥，1、2、3、4 这样的自然数还要公理？自然数嘛，不是掰一掰手指头就对应的那些数，这些东西还需要什么公理？ 怎么不需要？无公理，不数学。 这时候你可能才意识到这个问题严肃在哪。显而易见，大家都承认从公理出发，利用逻辑和演绎推导出其他的命题的方法，确实非常不错，可以保证知识的准确性。 而且，不仅几何要这么干，代数也要这么干。凭什么只有几何有这样的公理化的严密体系，代数就不可以？数学偏心？ 好，有了这个意识以后，我们再来分析一下这个问：为什么 2≠5？ 面对这个问题，我们要怎么思考呢？要证明为什么 2 不等于 5，我们首先得搞清楚什么是 2，什么是 5。也就是说，我们需要知道到底什么才是自然数，我们要如何用数学的语言去刻画自然数。 因为公理是数学体系的出发点，所以，我们需要一套公理，一套可以刻画自然数的公理。从这个公理出发，我们可以刻画自然数的各种特性，然后我们才可以证明为什么自然数 2 不等于自然数 5。 刻画自然数的公理有很多，最常见的就是皮亚诺公理。接下来，我们来一起看看皮亚诺公理是如何描述自然数的。 首先，我们我们现在说的自然数，是包括 0 的，也就是 {0,1,2,3,4……} 这样一组数。 皮亚诺公理有 5 条。 公理 1：0 是一个自然数。 公理 2：如果 n 是一个自然数，那么 n++ 也是一个自然数。 我们先看看这前两条公理是啥意思。 公理 1 说 0 是一个自然数，也就是说我们默认承认 0 是一个自然数了，既然公理这样说了，你就不要再问为什么说 0 是一个自然数了。 公理是数学体系的最底层，如果我有更好的办法证明这个公理，那么这个公理就会变成一个可以从其他公理推出来的定理，它就不是公理了。 公理 2 说如果 n 是一个自然数，那么 n 的后继 n++ 也是一个自然数。 这里的理解会稍微复杂一点，不是那么想当然了。公理 2 说如果 n 是自然数，那么 n++ 就是自然数。 那么，根据公理 1，0 是自然数，所以 0 的后继 0++ 是自然数。因为 0++ 是自然数，所以（0++）++ 也是自然数。同样，这个逻辑可以一直继续下去，（（0++）++）++ 肯定也是自然数。 然后，我们就把 0++ 定义为 1，（0++）++ 定义为 2，以此类推。 也就是说，在皮亚诺公理体系里，1、2、3 这些数字只是（0++）++……的代号，只是用来代替那一大串的一个记号。 有了公理 2 和这个定义，我们就可以非常容易的证明 2、3、4、5 都是自然数了。因为 0 是自然数（公理 1），所以 1（0++）也是自然数（公理 2）；因为 1 是自然数，2（1++）也是自然数，所以，3、4、5……都是自然数。 那么，仅仅依靠公理 1 和公理 2，刻画的一列数就是我们了解的自然数了么？ 不行，为什么？ 你看啊，如果仅仅只有公理 1 和公理 2，这样一个数列 {0，1，2，0，1，2，0，1，2……} 就也是自然数了。 它满足公理 1（0 是一个自然数）么？满足。它满足公理 2（如果 n 是一个自然数，那 n 的后继 n++ 也是自然数）么？也满足。 这里，我要特别强调，我们说的 n++，只是代表 n 的后继。也就是在这一列数里，n++ 排在 n 的后面而已，并不是 n++ 就是你以为的比 n 大 1，这时候你只有两个公理，你压根就没有什么大于的概念。 你看这个循环数列 {0，1，2，0，1，2，0，1，2……}，如果我说这叫自然数，那么 0 是自然数，每一个自然数的后继（反正还是 0、1、2 其中一个）还是自然数。 它完美符合公理 1 和公理 2，但它并不是我们平常感觉的自然数。所以，只靠公理 1 和 2 是不行的，我们还需要增加一些公理对自然数进行更深层的刻画。 于是，我们就有了第 3 条公理。 公理 3：0 不紧跟在任何自然数之后。 也就是说，有了公理 3，0 就不能再跟在任何自然数的后面了，这样就可以避免上面的循环数列了。因为在 {0，1，2，0，1，2，0，1，2……} 里，0 是跟在 2 后面的，所以它不满足公理 3，也就不是自然数列。 0 不紧跟在任何自然数后面，也就是说，对于任何一个自然数 n，n++≠0 均成立。 所以，如果 n=2，我们就得到了 2++≠0，也就是 3≠0。我们姑且把这个叫做命题 1。 也就是说，走到公理 3 之后，我们才能证明「3≠0」。但是，你还是无法证明「2≠5」，不信你可以试试。 好，有了公理 1、2、3，我们就能准确的描述自然数了么？ 还是不行，因为这几个公理无法排除这样的数列：{0，1，2，3，3，3……}。也就是说，如果自然数的公理只有这 3 条，那么这种后面都是同一个数的数列无法被排除出去。 因为你看，它显然满足公理 1 和公理 2。公理 3 说 0 不紧跟在任何自然数后面，这个数列里，0 只在第一个，确实不在任何其他自然数的后面，也满足。 大家可以想一想，这种增量增加到一定就不增了的数列，你要用什么办法避免它的出现？ 要解决这个问题的办法有很多，皮亚诺公理采用的是这样一种简单有效的办法。 公理 4：对于不同的自然数而言，紧跟在它后面的数字也一定是不同的。 也就是说，公理 4 告诉我们：如果 m 和 n 都是自然数，并且 m≠n，那么，就一定有 m++≠n++。这样，我就可以保证你所有的数列都给我老老实实的增长，不准出现谁谁谁突然涨着涨着就不动了。 还记得在公理 3 之后，我们证明了「3≠0」（也就是命题 1）么？ 如果 3≠0，那么，根据公理 4 就有：3++≠0++，也就是 4≠1。 再用一次公理 4，因为 4≠1，所以 4++≠1++。因为 4++ 就是 5，1++ 就是 2，所以，这就是说 5≠2。 然后，再看看我们的标题，我们花了这么多篇幅，一直逼出了皮亚诺公理的 4 个公理，才证明了 5≠2，才证明 2 跟 5 不相等，才回答了我们题目的问题。 我在把证明 5≠2 的过程完整地写一次： 因为 0 是一个自然数（公理 1），所以 1（0++）也是一个自然数（公理 2），2（1++）也是一个自然数（公理 2）。 因为 2 是一个自然数，所以 2++≠0，也就是 3≠0（公理 3）。 因为 3≠0，所以 3++≠0++，也就是 4≠1（公理 4）。因为 4≠1，所以 4++≠1++，也就是 5≠2（公理 4）。 证毕。 我们花了这么多篇幅，才完成了 5≠2 的严格证明。现在你还觉得这个问题很不可理喻么？还认为小学数学老师听到这个会痛心疾首么？ 我们费尽心力通过皮亚诺公理来定义自然数，图的是什么？图的就是为了让我们的代数体系也能像《几何原本》那样，只要你承认了最开始的几个不证自明的公理，后面的一切命题都可以从这里推导出来，这样我们可以一样建立一套严密的代数体系。 为了保证我们的知识是确定的，我们要用非常严密的逻辑来构造它。因为经验和直觉并不可靠，历史上反直觉的科学进步还少么？ 如果我们还停留在一切凭感觉，一切靠直觉的时代，那我的感觉肯定告诉我重的铁球比轻的铁球下落得更快，我的感觉肯定也告诉我是太阳围着地球转，那现代科学就无从谈起了。 文艺复兴以来科学技术上的重大进步，从根本上说就是理性的进步。我们就是依靠这种理性，这种严密的逻辑，而不是感觉，建立起来了牛顿力学，建立起来反直觉的非欧几何，也才有了后面的相对论和量子力学。 而西方科学里，这种理性的源头，这种严密的公理化体系的源头，就是《几何原本》。从这种意义上来说，《几何原本》是西方科学精神的源头，所以我们要认真读它，更何况这是一本连小学生都能读懂的书。 几何学通过《几何原本》这种严密的公理化方案获得了巨大的成功，其它各门学科争先效仿，牛顿的《自然哲学的数学原理》就是直接按照《几何原本》的方式写的。 其它学科都这么干了，那么，跟几何一样，同为数学分支的代数自然也要公理化。而自然数是代数的基础，所以才有了自然数的公理，我们今天说的皮亚诺公理，就是其中的一种。 通过皮亚诺公理定义了自然数，自然数的正数取个负号就能定义整数，然后用整数定义有理数，再定义实数、复数，这才有了后面的数学大厦。 最后，我一开始的时候说皮亚诺公理有 5 条，但是我们证明 5≠2 时只说了 4 条。还有最后一条叫归纳法原理，我这里也说一下。 公理 5（数学归纳法原理）：令 P(n) 表示自然数 n 的任意一个性质，如果 P(0) 为真且 P(n) 为真时一定有 P(n++) 也为真，那么对于任意自然数 n，P(n) 一定为真。 这个比较长，相对前 4 个公理要复杂得多，本质上跟前面 4 个也不一样，我也不准备细说。高中数学里会讲数学归纳法，用数学归纳法的人一定一眼就能看出这是啥意思。 再召唤一波皮亚诺公理的前面 4 条： 公理 1：0 是一个自然数。 公理 2：如果 n 是一个自然数，那么 n++ 也是一个自然数。 公理 3：0 不紧跟在任何自然数之后。 公理 4：对于不同的自然数而言，紧跟在它后面的数字也一定是不同的。 大家要是对这个感兴趣，可以去看看《陶哲轩实分析》。今天我就讲到这里，希望大家通过对 2≠5 的证明，对皮亚诺公理的理解，加深对《几何原本》认识。 阅读原文
