666，连我的ID都在为大佬喝彩。 阅读原文 首先，我们明确一下题设（我认为题主大概是这个意思）： 由于某种神秘力量的影响，地球的直径瞬间增加了 1%。 某种神秘的力量为地球直径增加带来的质量增量赋予了合适的轨道速度与角速度，使其能够完美地契合地球的自转以及公转等运动，而不会将地球撕裂。 某种神秘的力量保护了地球表面上所有的物体，使得地球直径增大时不会对地表的任何物体（包括大气层与海洋）产生加速作用（否则所有人都被压扁在地面上了），待地球变大的过程结束后再把它们轻柔地放在新的地表上。这个过程不会被任何人察觉。 在此前提下，我们能够感觉到这 1% 的地球直径变化带来的影响吗？ 毫无疑问，肯定会产生影响，但是具体产生什么影响，以及这种影响能不能被我们感觉到，则需要进一步讨论。 零、增加 1% 地球直径带来的几何变化 我们先来看看地球目前的属性：直径约 12742 公里（平均直径），表面积约 510072000 平方公里，体积约 ,质量约为 ，平均密度约为 5.5514 吨 / 立方米,平均表面重力加速度约为 9.80665m/s^2。 毫无疑问，增大地球的直径 1%会给上述数据都带来一些变化，其中表面积和体积两个与直径直接挂钩的几何属性的变化是确定的： 如果多出来的表面积平均分配到地球表面上，则大家的房子都会变大 1%，住在高房价城市的小伙伴们赚翻了（笑）。 如果多出来面积聚拢在一起，生成一个面积与中国陆地国土面积相近的陆地，则不论这篇陆地出现在哪里，都会深刻的改变当地的地缘政治。没准各国会为了争夺这片土地而发动战争，这样我们就可以深刻地感受到地球直径增加 1% 对生活带来的影响了（进入战时状态）。 如果海水的总体积不变的话，海洋的深度或许会下降一些，沿海城市暂时不用担心被上涨的海平面淹没了（笑）。 按照题主假设，地球的半径增加并不会改变地球自转的角速度，目前地球的自转角速度约为 [1],地球的直径增加后其角速度也应当保持这个值，不发生变化。 地球的增大会略微增加地球自转的线速度，产生略大的离心力，从而略微影响低纬度地区的重力加速度。 现在地球赤道上物体的向心加速度大小约为： 地球的直径增大 1% 后，赤道上物体的向心加速度大小变为： 其变化幅度 ,与地球直径的变化幅度相同，为 1%。 考虑到地球表面的平均重力加速度为 9.80665m/s^2，上述改变只有地表平均重力加速度的 ,而且这还是赤道地区，其它地区的改变量只会更小，故人类大概难以察觉这样的变化。不过这样的影响可能会在中大气循环和洋流等宏观系统中积累，最终产生可观测的变化。 另外，地球直径的增加也会略改变地表科里奥利力的动态性质。 对于地表任何一点，x 轴平行于当地纬度线的切线，y 轴平行于当地经度线的切线，z 轴垂直地表指向外 按照上图设置坐标系，假设地表上存在质量为 m 的，相对地球表面运动速度为 为的一质点，将质点的速度分解到上述坐标轴上，则该质点受到的科氏加速度可以表示为： 进而质点受到的科里奥利力可表示为 因为地球的半径变大了，故当质点的运动速度存在与地球纬线不平行的分量时， 角的改变速率会比地球半径没变大时稍微慢一些，从而影响科里奥利力的动态性质。 当质点的运动与纬线平行时，则它感受不到科里奥利力和之前有什么不同。 考虑到地球自转的角速度实在很慢，一般而言，人的运动速度需要达到 1km/s 这个数量级才能明显地感受到科里奥利力的的作用。现实中很少有人能运动地这么快，故这一点对人类本身影响不大（或许对某些精密仪器有影响吧）。不过大气和洋流也会受到科氏力的作用，故大气循环和水循环可能会因为科氏力的变化而略微改变。 1% 的直径增加对地球的质量的影响就比较复杂了。 我们都知道，地球是分层的，大体上可以分成地壳，地幔与地核几层，而且每一层的密度不一样。 具体密度见下表 深度(地表原点,向下为正)名称密度（g/cm^3） -100km ~ 0km大气层—— 0km ~ 35km地壳2.2~2.9 35km ~ 660km上地幔3.4~4.4 660km ~ 2890km下地幔3.4~5.6 2890km ~ 5100km外核9.9~12.2 5100km ~ 6371(8)km内核12.8~13.1 [2](假设质量增加到各个部位时自带合适的轨道速度与角速度，要不然会把地球撕裂……) 可见，地球不同层的密度差距非常大，题主给地球增加的 1% 直径放到地球的不同部分带来的效果也是很不一样的。 接下来我们就典型的三种（四种）情况来讨论一下增加 1% 直径对地球质量的影响。 一、1% 的直径全部加在地壳上(质量增量取到极小值) 我们可以保持地球其它层的数据不变，将这额外 1% 的直径全部增加到地壳上。 参考上表的数据，地壳可以看做一个内半径为 ,外半径为 的球壳。 地球的平均直径为 12742km，则 1% 的直径增加对应着 127.42km，固定地壳的内半径不变，则地壳的外半径需向外扩张 。 则调整过后的地壳为一个内半径为 ，外半径为 的球壳。 取地壳密度为 地壳的质量变化为： 易知地壳的质量变化即为此情况下地球的全部质量变化。相对于地球原本的质量，增量为 1.401%。 取引力常数 ,可算得地球的重力加速度变为： 相对于原本的地球，经过上述调整后的地球表面重力加速度减小了约 0.45539%。 重力加速度的变化可能会使得飞机和火箭的性能略微提升，但是大体上没什么影响，人体应该感觉不到。 另外，地壳变厚可能会导致地质活动的变化， 例如火山喷发频率减少，等等。 二、均匀分配 我们还可以将 1% 的直径增量平均分配到地球的每一层上，使得地球的平均密度大体上不发生变化。 那么在此前提下，地球的质量变化为: 相对于地球原本的质量，增量为 3.05087%。 地球的重力加速度变为： 相对于原本的地球，重力加速度增加了 1.16387%，普通人大概难以察觉。 三、1% 的直径全部加在内核上(质量增量取到极大值) 我们也可以让 1% 的直径全部增加到地球内核上。 地球的内核近似为一个半径 1271km 的球，其主要成分为铁，镍等金属，故密度较大。 我们假设地球内核的密度为 若使地球内核的半径增加 ，则地球内核的质量增加了： 由于地球内核的膨胀，为了几何关系的匹配，地球的其余层也要依次膨胀，重量也会对应发生变化。 地球外核近似为一外半径为 3481km，内半径为 1271km 的球壳。 内核膨胀了 63.71km 后，地球外核变成外半径为 3544.71km，内半径为 1334.71km 的球壳。 假设地球外核的密度为： 则地球外核的质量变化为: 下地幔近似为一外半径为 5711km，内半径为 3481km 的球壳。 外核膨胀后，下地幔变成外半径为 5774.71km，内半径为 3544.71km 的球壳。 假设下地幔的密度为： 则下地幔的质量变化为： 上地幔近似为一外半径为 6336km，内半径为 5711km 的球壳。 下地幔膨胀后，上地幔变成外半径为 6399.71km，内半径为 5774.71km 的球壳。 假设上地幔的密度为： 则上地幔的质量变化为: 地壳近似为一外半径为 6371km，内半径为 6336km 的球壳。 上地幔膨胀后，地壳变成外半径为 6434.71km，内半径为 6399.71km 的球壳。 假设地壳的密度为 则地壳的质量变化为： 综上可得地球的总质量变化为： 相对于地球原本的质量，增量为 3.52728%。 地球的重力加速度变为： 相对于原本的地球，重力加速度增加了 1.63156%。 这可能会略微降低火箭和飞机的效率，但是人体应该还是难以察觉到这样的变化（运动员或许能）。 另外，由于地球的内核与外核都增重了许多，地球的磁场可能会加强，附带着会产生一系列未知的地质影响。 四、增加为海洋 不必说，63.71km 厚的海洋必然会将地球表面全部淹没，珠穆朗玛峰都冒不出头来。如果变化瞬间发生，人类大抵会灭绝吧。 如果给到 50 年~100 年的缓冲期，人类或许可以加速发展航天，在太空中留下火种，待到剧变发生后再下到地面上来（这个设定都可以写一篇小说了……）。 (由于大气厚度一般不算做星球半径，故不讨论增加为大气的情况了) 总之，1%的地球直径变化对我们的日常生活改变不大（前提是不增加为海洋，或者各国不会为了多出来的表面积打起来……），但是具体产生何种改变，就取决于题主愿意把这直径加在地球的哪个部分上了。 五、星球表面气压的计算 我们先来科普一下大气压强随着高度是怎么变化的，也好为后面的计算做一下铺垫。 首先从大气中抽出一个薄层，假设它的底面积为 A,厚度为 dh，下底面所受到的压强大小为 P，则有： 渣手绘，凑合着看吧 假设此层大气受力平衡，易得： 即： 由理想气体假设，有： ,其中 M 为空气的平均分子量, 为气体常数。将其带入上式（P(h)简记为 P），得： 由于重力加速度 随高度变化，故上式还不能直接积分，做代换： 则有： 其中 为地表重力加速度，数值约为 9.80665m/s^2。 可见，做上述代换之后 g 便可固定为 ，由 z 的变化单独表征重力加速度的变化。像这样代换后的“高度”z，我们一般将其称为位势高度。 代换后，有： 等号两边同时积分，有： 即: 当 h=0 时，z=0；P 为海平面大气压强，记 故 看到这里，可能有人已经发现了，在上述推导中，我们并没有把温度 T 看作是会随海拔高度变化的量，而是视为一个常数，所以在积分时才可以不考虑 T 变化的影响。 事实上，随着海拔的升高，温度 T 会逐步下降（爬过高山的同学肯定印象深刻）。 经过大量测量，在对流层内，随着海拔高度的上升，温度 T 大致呈线性下降（下降的速率取决于空气含水量等因素）；在平流层内，温度大致不发生变化；在平流层之上还有其它层，每一层都有自己的温度变化规律。 美国于 1962 年发布的标准大气图 [3]可以看到，温度随海拔高度变化的规律还挺复杂的……为了简化计算，我们直接用一根直线连接温度变化曲线的起点和终点。由上图可得，在 100km 处，大气温度约为 204K，在海平面处大气温度约为 288.15K，故有： 其中 , 将其带入(**)式，有： 等式两边积分，有： 两边取以 e 为底的指数即可得 P 的关于 z 的表达式，再令 即可得 P 关于 h 的表达式。 由于之后的计算需要用 P 的表达式积分，而上式显然过于复杂，不利于展现一般规律（我懒得积这样的式子……其实也不难，不如留做习题，感兴趣的同学自己尝试），故我们不采用 z 代换 h 的修正（在 100km 这样的长度区间上，误差的大头不在与重力加速度变化），将 带入（*）式，令 得： 两边积分，得: 即： 易知当 h=0 时 ,故有 故有： 这就是在假设重力加速度不随海拔高度化变化，温度随海拔高度线性变化时大气压力与海拔高度 h 变化的关系式。 由理想气体假设，有 ,将 P(h)带入，得： （分界线，经过我的检查，第五节在此之上的内容无明显错误，大家可以放心看。下面的内容嘛……总之，可能哪里出了点问题） 终于，我们算出了空气密度随着高度变化的关系式，接下来就可以计算 了。 （我们先用积分计算，要是没翻车就采用，翻车了就转数量级估计……） 大气压的来源是大气层地球重力对大气层的作用，假设大气层总厚度为 H，有： 为了简单起见，依然假设 ,有： 由于积分的两侧均有 ,我们不妨将其当做微分方程来求解，考虑： 两侧分别对 H 求导，有： 整理可得： 两边积分，可得： 故： 此即为地表气压与大气层总厚度的函数（二重指数，我总觉得搞错了什么……或许该直接查空气密度 - 高度曲线，然后数值积分或者直接拟合的……），适用于性质与目前地球相差不大的大气层（毕竟推导密度变化时应用了多个与目前地球大气属性相关的边界条件）。题中 1%的直径变化属于微扰，正好可以应用上式。 地球与太空的分界线——卡门线的高度为 100km，我们也知道，100km 以下的大气占地球大气总质量的 99.99997％[4]，我们基本可以认定，大气层的总厚度为 100km。而且我们知道，此时地表大气压强为 101325Pa，故有边界条件 。 干燥空气的平均分子量为： ，目前地球表面的重力加速度为 ,理想气体常数 ,地表温度 ，上文已经得出 ，将这些数值与边界条件一起带入 式,可得： 。 于是我们终于得到了地表大气压强 的近似表达式： 六、如果地球的直径增大 1%，地表气压如何变化 还是以之前讨论过的三种典型情况为例。 1% 的直径全部加在地壳上(质量增量取到极小值) 上文已经得出，在此情况下，地球表面重力加速度会减小约 0.45539%，有： 假设其它参数都不变，带入上一节算出的式子，得： 为了算出区别，我们采取数量级估计（抹平一切分布）的方法。 地球大气层的质量约为 [5],地面大气压强需要能够平衡地球大气所受的重力，在此情况下，地球表面积为 ,则地表大气压强应为： 相对于地球原本的大气压强减少了 4.64112%。 作为对比，地球表面原本的重力加速度为： ,表面积为： ,可以算出： 这个结果与测量结果的误差约为 2.28082%，其实也不算大。 由于按此估算方法的计算结果整体偏小，对比 与 可能更具参考价值。 在此假设下， 比 小了 2.41539%，这样的变化量大概相当于从海平面爬到海拔 300m 的山顶，比较敏感的人或许可以察觉。 (其实按照数量级估计没准比我上面算的式子还要精确，毕竟推导时采用了那么多假设……) 均匀分配 在此情况下，地球表面重力加速度会增加约 1.16387%，有： 按照上一节的式子，有： 按照量级估计，有： 这个值比 小了约 0.82796%，这样微小的比例变化即使是比较敏感的人大概也难以察觉。 1%的直径全部加在内核上(质量增量取到极大值) 在此情况下，地球表面重力加速度会增加约 1.63156%，有： 按照上一节的式子，有： 按照量级估计，有： 这个值比 小了约 0.36953%，更难察觉了。 增加为海洋 这种情况下人类都灭绝了，大气压强什么的也就不重要了。 七、阶段性总结 看来五节中写出地表大气压强表达式的尝试翻车了，应该是温度的分布没选好（或者过拟合什么的），总之给不出有意义的结果。不过作为科普，我选择不删掉那一节，让大家都看看吧（也可以挑挑错什么的，毕竟我老手残了，非常可能哪里算错了……）。 事实上，空气的相对分子质量也会随着海拔高度变化（毕竟空气的组分会随着高度变化），所以要精确地积分算出空气密度与海拔高度的显式表达是十分困难的，各位以后要算这种问题不妨尝试数值积分或者按照量级估算。 单从数量级估计的角度看，地球直径增加 1% 带来的压力变化并不大，对人类的生活大概没有什么影响。 （看我算地这么辛苦，兄弟们不点个赞再走吗？） 八、关于轨道力学的一些说明 我在上文已经假设过了，增加地球直径所带来的质量增量自带合适的轨道速度与角速度，完美地契合地球的自转，公转等运动。若非如此，质量增量的惯性（影响大致相当于月球以零速度与地球相撞）会直接把地球撕裂，造成全球性的巨大地震，火山喷发等灾难，人类说不好会直接灭绝，其它的影响也就不用计算了。 那么这么多质量增量对地球绕太阳运动的轨道就没有任何影响了吗？ 其实也不是，我们知道，地球绕太阳运动的椭圆轨道方程（极坐标）为： 其中 e 为地球轨道的偏心率，p 为地球轨道的通径： , ,h 为地球单位质量所具有的轨道角动量， 为太阳质量， 为地球质量。 我们知道，太阳的质量约为 ,地球的质量约为 ,二者相差 8 个数量级，所以在计算μ时，我们一般直接忽略地球的质量，带入中心天体太阳的质量进行计算。 另外，根据质量增量自带合适的轨道速度与角速度的假设，地球直径增加带来的质量增量并不改变地球单位质量所具有的角动量 h，所以题设给地球轨道带来的改变仅仅体现在μ上。 但是题设带来的地球质量改变与太阳质量相比更是差了 10 个数量级，一般在计算μ时地球质量本身都不进行考虑，所以题设带来的地球质量增量就更没必要考虑了…… 题设带来的地球质量变化倒是会对月球轨道产生影响，进而对地球潮汐产生一定的影响，不过要定量计算比较复杂（除非考试大题给 40 分，不然我才懒得算……），感兴趣的同学可以自己尝试(求解两次二体问题，分别考虑地球潮汐，然后对比)。 进一步考虑，地球的质量变化会不会对太阳系的稳定性产生影响？ 这个就在我的能力范围之外了（或许也在目前人类的数学知识之外，毕竟多体引力问题嘛……），这个问题就留给有缘人吧…… 九、地球直径增加对地表温度的影响 为了计算地表温度变化，我们首先需要一些预备知识：如何定量计算地表温度？ 之前我写的一篇文章恰好谈到了这个问题，下面我贴一段出来： https://zhuanlan.zhihu.com/p/346937181 我们小学二年级就学过Stefan–Boltzmann 定律[6]： 其中 为物体黑体辐射功率； 为表面发射率，是个无量纲常数，取决于物体的表面性质，对于理想黑体而言， ，对于灰体而言 （二氧化碳造成温室效应调控的就是这一项）； 为Stefan–Boltzmann 常数，其数值约为 ； 为黑体的表面积； 为黑体的热力学温度。 为了方便计算，在后续的计算中都令 。 为了方便理解，先计算正常状态下的地球表面温度作为范例。 将太阳视为黑体，则太阳的辐射功率（为了与之后的计算相对应，这里不引用之前的数据）可表示为（ 下标代表太阳）： (为了尽可能减少舍入误差，最后一步再代入数据) 地球( 代表地球)绕太阳运转的轨道为一个偏心率很小（0.0167086）的椭圆，为了简化计算，可以近似认为地球运行在半径为地球轨道半长轴（记为 ），球心在太阳质心处的球壳之上。 假设太阳辐射能量在空间上非常均匀，那么此球壳上单位面积可以分到的能量(辐照度)表示为： (也可以用两个球之间的角系数计算，那样更精确，但是那个要四重积分……算了吧。) 地球正对太阳的投影面积为： 故太阳在地球上的辐射功率为: 假设地球也为黑体，由于星际气体太过于稀薄，难以起到热传导或者对流的作用，这些能量都要地球通过黑体辐射的方式散出去。 于是存在等式： 即： 带入太阳表面温度为 ，太阳半径为 ,地球轨道的半长轴为 ,即可算得地球表面的平均温度约为 。 实际上，目前地球表面的平均温度约为 287.16K（约 14°C），与上述计算的误差为 2.84%，在可接受的范围内。不论是地球还是太阳，都远不是理想黑体，故产生这种程度的误差也是正常的。 通过上述计算可以看出，在忽略人类文明的产热，直接计算地球与太阳的辐射平衡时，约分到最后，能对地球表面温度产生影响的只有三个因素： 地球绕太阳运行轨道的半长轴（或平均半径）。 太阳半径 太阳表面温度 所以，题设带来的地球直径增加并不会直接改变地球的表面温度。 上一节也说明过了，1%的地球质量变化很难对地球绕太阳运行的轨道产生任何可测量的影响，所以我认为，在题设条件下地球的表面温度不会有太大改变。 如果有一天，人类文明所掌握的功率达到了可以与地球接受太阳辐射功率相比的地步，那么题设中地球表面积增加带来的散热效率提升才能被比较清晰地观测到（希望我们能看到那一天的到来）。 当然，地球的质量增加实际上是会改变地球大气成分的，这也会影响地球的表面发射率 ，进而改变地球的表面温度。不过这样的影响比较难定量计算，故不做展开说明。 大家太热情了，都破两千赞了…… 我最近在写关于火箭的科普，没怎么看，一看吓一跳。 好吧，既然大家这么热情，那我明天把第五节后半部分重算一遍，争取做到不留遗憾。 十、地表气压变化的重新计算 第五节后半部分的计算翻车的原因主要大概是我采用了错误的大气密度分布，先用现在的地表大气压强估算大气密度分布，再用大气密度分布估计新的地表大气压强，总感觉有一点循环论证的味道…… 所以今天我们不搞那些复杂的理论计算，整实在一点，直接查标准大气表拟合一个分布出来，看看效果怎样。 下面的文件是我之前学飞行力学时课本上的附录 1：标准大气，数据应该比较可靠，就直接搬过来用吧（这里的数据到 19km 高度就没有了，可能是因为再往上飞机就飞不了了罢……不够没关系，96 个数据已经够用了）。 标准大气表.pdf 首先，我们把它里面的海拔高度和大气密度密度两列提取出来，整成一个 excel。 0~19000 米的大气密度分布.xlsx （大家可以检查一下我有没有打错……） 然后打开 Origin（因为我的电脑太渣，开 MATLAB 太慢了……），由于我们已经知道密度随着海拔高度增加下降的速度大致是指数的，所以直接选择指数拟合，可以得到： 可以看到，拟合出来的 R 方还挺高的，我们可以采用上述的结果（为了避免 x 很大时压强变成负数，还要保证拟合精度，只能选了个这么复杂的函数……各位可以自己试一下有没有更好的函数）。 由上图可得，拟合得到的大气密度分布为： 于是可以继续第五节未完成的积分(可以考虑重力加速度的变化，精确一点)： 其中 , , , , 鉴于我们拟合出来的函数衰减非常快（指数上的负二次方可不是开玩笑的），我们不妨将积分的上限设为无穷，这样就避免了界定大气层的边界在哪这个问题。故正常状态下的地表压强为： 这样算出来的数字比我们熟知的地表大气压强 101325Pa 只小了 1.10535%，可以说比较精确了。如果改进一下大气密度的分布，或者把各个常量取到更高的精度，则还可以贴合地更好。 由上式同样也可以计算地球大气的总质量： 本回答的第五节提到过目前人类估计地球大气的总质量约为 ,我们拟合出来的结果与此估计的差距仅为 1.28252%，比较精确。 但是，由于此时我们使用的大气密度分布为拟合结果，而不是从原理上推论得来的，故无法将地球质量增大带来的重力加速度变化与拟合参数 a、b、c 联系起来。 所以，若是利用这个式子来计算地球质量增大带来的大气压强变化，就相当于假定了地球质量增大的同时大气密度的分布不会改变，这显然是不合理的。因为如此一来使地表大气压强减小的因素（地球半径 增大）对大气压强的影响会比使其增大的因素（ 增大）强烈，从而带来一定的误差。 不过不过反正是脑洞问题，我们也没必要算地太精确，而且 1% 左右的变化也属于微扰，我们就姑且假设地球的质量改变不会影响大气的密度分布来进行接下来的计算吧。 1% 的直径全部加在地壳上(质量增量取到极小值) 由第一节的计算可知，此时地球的质量增量为： 地球半径变为： 故μ变为： 此情况下的地表大气压强为： 这个值与 相比减小了 1.57640%，敏感的人或许能感觉到，普通人（像我）就不行了…… 均匀分配 由第一节的计算可知，此时地球的质量增量为： 故μ变为： 此情况下的地表大气压强为： 这个值与 相比增加了 0.024702%，人类大概是难以察觉的。 1% 的直径全部加在内核上(质量增量取到极大值) 由第一节的计算可知，此时地球的质量增量为： 故μ变为： 此情况下的地表大气压强为： 这个值与 相比增加了 0.57408%，人类估计还是难以察觉。 4000 赞了，正好看见评论区有人问 1% 的地球半径增加为大气地球会不会变成金星之类的问题，那我就再加一小节吧。 十一、1% 的直径增加为地球大气厚度 一般而言，我们不将地球大气层厚度视为地球直径的一部分，如果要将题设中的 1% 地球直径增加到地球的大气厚度上，那么我们首先需要修改地球直径的定义。 不过，要想将地球的大气厚度视为地球直径的一部分，还需要解决一个问题：地球大气与外太空的分界线在哪里。 事实上，要回答这个问题还是比较复杂的。一般我们认为大气与太空的分界线为离地表 100km 高的卡门线，但是这就真的代表 100km 之上就不存在空气了吗？ 并不。运行在 200km 高度的低地球轨道卫星如果不定期调整轨道的话，只需几年就会因为空气阻力的影响逐渐减速，最终坠入地球大气层。这说明地球大气的影响至少能够到 200km 高…… 甚至更高轨道的卫星也会受到地球大气的影响，只是轨道越高，这个影响就越小罢了（基本上高到了同步轨道的程度，地球大气对卫星运动的影响就看不出来了）。 当然，在这里我们不讨论稀薄热气体的动力学问题（对于卡门线以外那样稀薄的气体，甚至 Navier -Stokes 方程都难以很好地描述它们，搞不好得上 Boltzmann 方程，那样就太复杂了……），只讨论地表大气压强与大气层厚度的关系。 我们知道，大气压强来源于大气所受的重力，100km 以下的大气占地球大气总质量的 99.99997％，从而也提供了绝大部分的大气压强。所以，从实用性出发，在计算地表大气压强的时候完全可以认为大气层的厚度只有 100km。 那么，在新的定义下地球的半径将变为： 那么 1% 的直径增加带来的半径增量为： 将这些半径增量全部增加到大气层上，则地球的大气层厚度将变为： 我们在上一节已经拟合得出了地球大气密度分布： 其中,,。 我们可以算出，在此分布下，海拔高度 100km 处的大气密度为： 我们不妨将这个密度作为地球大气与外太空的分界线。 同时，我们假设地球大气的厚度增加后，大气密度分布不发生本质性的改变，而是简单地放缩一下： ,其中为新增的常数，a，b，都维持原来的数值不变。 大气层的厚度增加后，它与外太空的分界线变到了处，故有： 即： 故： 嗯……这个数量级好像有点离谱啊…… 如果令 等于上面那个离谱的数字，那么计算出的地表压强为： 嗯……这哪里是金星啊，这 TM 是白矮星吧！ 要知道，按照目前的估计，木星内核的压强为 ,这个值是它的 900 亿倍；太阳内核的压强约为 ,这个数值比它大了 1650 多万倍；白矮星内部的压强大概在 这个数量级附近[7]，我们算出来的结果和这个差不多…… 同时，增加这 的半径需要的气体质量约为： 太阳的质量约为 ,上述质量约为太阳的 1000 万倍……质量这么大的物体只 可能是黑洞。显然，这样的变化是不现实，不物理的。 上述计算告诉我们，拟合得出的结果不能随意推广，否则结果会非常离谱…… 那么如果应用第五节中得出的分布会得出什么结果呢？ 第五节中，我们在假设温度不随变化海拔高度的前提下得出的分布为： ，其中 看到指数的那一刹那我就隐隐感觉不妙，果然，我令 算出来的是这个数量级的…… 要知道，可观测宇宙的质量大概在 这个量级，上面的那个数字（在绝对的数量级差距面前，单位已经无所谓了）是可观测宇宙质量的 ，大概上帝本人来了也造不出这么多质量吧…… 总之，在大气厚度变化如此之大的情况下假设大气的密度分布不变是十分愚蠢的。64.71km 这种程度的增量已经超过了原本大气厚度的 50%，不可能视为微扰，大气的密度分布应当会变成全新的形式…… 那么有没有可能算出比较合理的结果呢？ 也不是没有，注意到 ,故只要将地球大气层的半径取到足够接近无穷，用 可以算出任何你想要的。 例如，我想让地表的大气压强为原来的三倍，即，那么我可以令，即： 两边取对数，得到方程 进而可以解得： 即，当你将大气层的厚度定义为 1644.81km 时，你就可以得到题设使得地表压翻三倍这样的结果…… 而这样的定义可以是任意的，故你可以借此得到几乎任何你想要的结果，不论合理与否。 当然，基于“大气厚度起码得是正实数”这样的朴素观念， 还是有一定的取值范围。我们假设大气密度的分布不变，重新化简 ，可得： 上述方程可视为关于 H 的二次方程，记为： 其中,, 我们先令其有实数解，有： ,解得 考虑到在地球表面重力加速度不变时，地球的大气厚度增加不应当使地球表面的大气压减小，故我们不妨将 解出的范围定为。 接下来我们求解使得方程存在两个负实根的范围，由韦达定理，有： 解得的范围为： 其补集为 故使得关于 H 的方程至少存在一个正实数解的范围为： 即 故地表大气压强最少增加约 2.77 倍，此时对应的大气厚度约为 (取) 这个数字达到了地日距离的 75%，怎么看都超出了我们正常定义的大气层厚度。 归根结底，这种情况下可以算出任意的数据还是[大气厚度]这个概念没有被良好地定义所导致的。 所以，如果确实想算地球大气的各种变化，还是把改变量从大气[半径]这种定义含糊的东西换成大气[总质量]这种含义比较确定的东西吧…… 总之，这一次的尝试大概算是翻车了，感兴趣的同学可以自己尝试计算。 最后附上一张金星大气压强随高度的变化图： 压力的单位是 Bar，1Bar 就是一个地表大气压强 十二、真·总结 好吧，所有的计算（不论有没有翻车）到这里都告一段落了，鉴于评论区没有总结，我们还是来做一下总结吧。下面是本文所有计算（没翻车的部分）得出的结论。 在直径增加前，地球的各项参数如下所示： 直径约 12742 公里（平均直径），表面积约 510072000 平方公里，体积约 ,质量约为，平均密度约为 5.5514 吨 / 立方米,平均表面重力加速度约为 9.80665m/s^2，平均表面大气压强约 101325Pa，平均表面温度约 288.15K。 地球的直径增加 1%带来的地球表面积变化为： 地球的直径增加 1%带来的地球体积变化为： 地球自转角速度基本不变，科里奥利力基本不变。 地球绕太阳运转的轨道基本不变，地表温度基本不变。 若将 1% 的直径全部加在地壳上(质量增量取到极小值)，则： 地球的质量增量为： ，为原地球质量的约 1.401%。 地表平均重力加速度将变为： ，相对于原本的地球减小约 0.45539%。 地表大气压强将减小 1.57640%（拟合计算结果）, 或减小 2.41539%（数量级估计结果）。 若 1% 的直径增量平均分配到地球的每一层上，使得地球的平均密度大体上不发生变化，则： 地球的质量增量为： ，为原地球质量的约 3.05087%。 地表平均重力加速度将变为： ，相对于原本的地球增加约 1.16387%。 地表大气压强将增加 0.024702%（拟合计算结果），或减小 0.82796%（数量级估计结果）。 1% 的直径全部加在内核上(质量增量取到极大值)，则： 地球的质量增量为： ，为原地球质量的约 3.52728%。 地表平均重力加速度将变为： ，相对于原本的地球增加约 1.63156%。 地表大气压强将增加 0.57408%（拟合计算结果），或减小 0.36953%（数量级估计结果）。 1% 的直径增加为海洋 63.71km 厚的海洋将会覆盖地球的表面，人类大概率灭绝。 1% 的直径增加为大气层厚度 地表平均大气压强至少变为原来的 2.77348 倍，对应的大气层厚度定义为 1.1232 亿 km（地日距离的 75%，有点离谱）。 由于[大气层的厚度]这个概念没有明确的定义，故此结果具有一定的任意性，基本不具备参考价值。 阅读原文
