地球的圆是什么程度的圆？

黄泽森，空间物理博士生 阅读原文

简单来说，地球的扁率是 0.00335，也就是说（赤道半径 - 两极半径）/ 赤道半径 ~0.00335，换言之就是差千分之三就是完美的圆。你看这地球，它又大又圆……咦？不是圆的？


由阿波罗 17 号宇航员拍摄的地球，也就是著名的“蓝色弹珠”https://www.nasa.gov/content/blue-marble-image-of-the-earth-from-apollo-17

地球到底有多扁？我们可以做一个简单的估算：

我们可以计算一下大地的等势面，先建立一个简单的坐标系：



我们可以利用高中知识，很简单地列出等势面方程：



那么对于



和



我们有：



从而我们得到：



其中



是扁率(Flattening)，



是转动系数(Rotational Parameter)

那么我们就来验证一下我们做的对不对吧~(●'◡'●)

这里我们参考了[3]的数据



咦 w(ﾟДﾟ)w 好像不是那么对头欸……为啥偏差这么大？我们一定有地方做错了什么┑(￣Д ￣)┍

我们先来看看重力势能的公式：



这个公式假定了地球可以被当成一个质点，但实际上在计算大地水准面的时候我们不能把地球当成一个质点——我们应该考虑更高阶的变量！重力场是一个无源场，换言之，在没有质量的空间，重力势能满足：



而在球坐标系下 V 的解为：





先别怕，我们来一项一项解释(●'◡'●)我们先看看球坐标系：



重力势能中的第一部分：



代表的是重力势能随距离变化的趋势，这里我们只取 n<0 的部分。

重力势能中的第二部分：



代表的是重力势能随经向（东西）和纬向（南北）变化的趋势，这里 m 代表的是东西方向，n 代表的是南北方向。我们假定地球在东西方向是均匀的，仅有南北方向的变化。

那么，最终重力势能的表达式如下：



其中



和



是待定的系数。

我们现在来观察一下上面的式子，我们可以发现，重力势能由三项组成，分别是：



第一项是常见质点产生的重力势能，在这里就是 0 阶近似。

第二项是重力势能的一阶近似，在这里考虑到地球的南北近似，应该有：



所以



应该为 0

第三项是重力势能的二阶近似，也就是我们需要的修正项了( •̀ ω •́ )y

(ಥ _ ಥ)历经千辛万苦，我们终于可以对我们求地球扁率的公式进行修正了！

我们的总势能如下（注意到这里把



换成了图 3 的



，



）：



我们得到了修正后的扁率



！现在我们再来验证一下修正后的扁率对不对吧~

这里我们参考了[4]的



数据：



我们可以发现扁率计算值和实际值基本上就没有很大的偏差了~o(￣▽￣)ブ

引用：

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Grade_measurement

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Geoid

[3] https://www.smartconversion.com/otherInfo/Ellipticity_Flattening_of_planets_and_the_sun.aspx

[4] http://hosting.astro.cornell.edu/academics/courses/astro6570/Rotation_precession_gravity_fields.pdf

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