Changkai Zhang，Theoretical Physicist 阅读原文 其实这是一个很好的问题，它背后所蕴含的逻辑和哲学远没有它表面看上去那么简单。诚然，你可以认为这是一个定义问题，因为你完全可以说这个”悖论“出现的原因是”谷堆“这个概念定义不清。但是，这样的说法其实有些过于简单了。 我不知道有多少人小时候看到超市里的散装大米会有种想要把玩的冲动。不过如果你注意观察这些散装大米，你会发现它们的表面往往有很多不同的形状： 散装大米的表面往往可以有各种不同的形状。图片源自网络，侵删。 所以一个自然的定义“谷堆”的办法就是根据它的表面是否能形成特殊形状。这也是最符合我们常识的一种定义。所以你再想想看，是从第几粒米开始，这些散装大米的表面就开始出现这些形状了？是不是就没那么好解释了？ 当然，谷堆和大米在这里并不是一个非常好说明的例子。所以让我们换几个类似的问题，比如： 一个水分子不算湖泊，若 个水分子不算湖泊，加一个也不能算。所以，究竟多少水才能形成湖泊呢？ 一个像素不算图片，若 个像素不算图片，加一个大概也无济于事。所以，从第几个像素起，我们可以将之称为图片了呢？ 我们来看湖泊的问题。沿用我们刚才分析谷堆的方式。湖泊表面是会形成浪的，而几个水分子或哪怕是几滴水（已经有 这么多的水分子了）都是无法形成浪的。所以，我们的问题就变成了：从第几个水分子开始，这些水可以形成浪呢？ 可能令很多人意外的是，对这个问题我们至今都没有一个非常完善的理论解释，而对类似的问题的研究依然是物理学前沿的热点之一。物理学中我们叫它尺度问题或复杂度问题，核心就在于，很多系统在能标降低或尺度增加 (复杂度增加) 后，会有新的自由度出现。湖泊上的浪就是一个例子。湖泊里的每一个水分子都有自己的运动自由度。这些自由度通过互相的耦合，在有足够多的水分子的情况下，在大尺度上产生新的长波 (long-wavelength) 自由度。物理学中这样的例子很多。另一个例子是：如果你只有几个原子，那么它们大概是不能传递声音的，但是如果你有 个原子，那么声波大概就可以在它们之间传播了。所以，声波也是在大尺度上一些介质产生的长波自由度。 这种在不同的能标和尺度下存在不同的主导自由度 (dominant degrees of freedom) 的现象是现代物理学的研究重点之一。这种现象的重要特点是，当能标充分降低或尺度充分增加后，高能标和小尺度的细节会被屏蔽，只留下低能标大尺度的等效自由度。目前理论上能够使用的分析工具仅有基于路径积分的重整化群方法 (计算上倒是还有那么些)，该方法可以将高能标自由度给积分掉，只余下低能标的自由度。 说回到这个悖论问题。这个悖论本质上表明了分析学的局限性。当我们研究的系统尺度发生明显变化时，有可能出现的大尺度结构是无法被分析学方法所捕获的。而如何通过理论或计算方法去连接相邻尺度下的主导自由度也是目前理论物理学家的工作重点之一。 阅读原文
