王小龙，陕师大数统院讲师 阅读原文 一个好好的数学问题为啥没人正经答题呢？ 先说结论：两种策略的赢率是一样的，但是赢率的波动性大小不同。 假设你叫小明，玩一把游戏的获胜概率是 ，输的概率是 ，各局游戏相互独立，有两种游戏策略：输了就睡觉和赢了就睡觉。这就带来几个问题： 什么时候能睡觉？ 胜率如何？ 如何稳赢？ 为了分析这些问题，定义随机变量 和 分别为采取"输了就睡觉"和"赢了就睡觉"策略玩游戏的总局数，那么由独立性条件可以得到概率： 即前 局连赢(输)，第 局游戏第一次输(赢)的概率，这个分布称为几何分布。注意这两个分布具有对称性(把 和 对调，问题只是换了一种陈述）。 问题 1：什么时候能睡觉？ 计算游戏局数的期望： 类似地，由对称性： 因此 等价于 ，也就是说，如果小明的胜率 ，"输一把睡觉"能够更快地睡上觉。如果小明很菜， ，采用输一把睡觉的平均游戏局数为 也就是基本上玩一局就能睡觉啦。反之，如果小明错误的采用"赢一把睡觉"的策略，那么他平均需要玩 ，因此对于菜鸡来说，赢一把就睡策略的潜台词是我要通宵。 问题 2：胜率如何？ 如果采取"输了就睡觉"策略反复玩游戏 天，每天一共玩 局，其中赢 局，输 局，那么总共赢了 局，输了 局，赢率为： 其中我们用到了大数定律，大量样本的平均值趋向于期望 如果采取"赢了就睡觉"策略反复玩游戏 天，每天一共玩 局，赢 局，那么总共赢了 局，赢率为： 因此如果每天采取同样的策略玩游戏，长此以往，两种策略的赢率是一样的，都是 。这类似于如果所有人都采用一直生娃，直到生出男(女)娃停止的生育策略，那么男女比率还是 1:1。 问题 3：如何稳赢？ 现在小明有了三种游戏策略：a.只玩一把就睡觉，b.输一把就睡觉，c.赢一把就睡觉，上面我们推导出这三种策略的胜率都是 。但是在现实生活中，这三种策略的实际胜率具有随机性，其波动大小并不一样。这就好比你有三种股票可以选择投资，它们的平均回报率可能都是 5%，但其波动性不同：第一种股票稳赚 5%，第二种股票可能赚 1%-%9，第三种股票可能赚 15%，也可能亏 5%，只是平均而言赚 5%。小明的人生只有一次，因此当他选择投资方式时，应该选择波动性较小或者风险较低的投资方式，甚至为较小的风险、牺牲一定回报率也是值得的。这也是为什么国债虽然利率低，但总是很抢手，因为风险极低。 我们可以用胜率的标准差来衡量其波动性，假设小明是高玩( )，下图种展示了小明采取三种策略的胜率的均值和标准差，可以看到随着游戏天数增加，三种策略的平均胜率很快趋向于 0.9，但"输一把就睡"的 error bar 更窄，说明胜得更稳。 相反，下图表明如果小明是菜鸡( )，采取赢一把就睡的策略，不仅能够爽玩，赢率也更稳定。如果小明的目标是提高胜率，那么采取输一把就睡策略，胜率的波动性更大，更有可能高到 0.15 以上，但也有较大可能低到 0.05 以下，如果小明兼有赌狗属性，也许会不理智地选择这种高风险策略。对于理性人来说，当平均收益(胜率)相同时，总是应该选择低风险的策略。 总结： 两种策略的赢率是一样的，对于高玩( )采取赢了就睡觉策略能更快睡上觉，但赢率波动性较大，反之对于菜鸡( )，采用赢了就睡觉策略更难睡上觉。 阅读原文
