绿影无痕 阅读原文 2021-06-22： 根据爱因斯坦广义相对论场方程的史瓦西真空解： ，可以近似推导出空间站与地面的时间差表达式为 ， 取万有引力常数 ，地球质量 ，光速 ，地球赤道半径 ，中国空间站高度400~450km，取平均425km，则空间站到地心的距离 ，地球赤道线速度 ，空间站运行速度 ，中国空间站累计时间 （以90天计），得 。 由 公式可见，方括号中第一项表示的是狭义相对论效应，为正，说明狭相效应使时间流逝变慢，三个月能慢2.6ms；第二项是广义相对论效应，为负，说明广相效应使时间流逝变快，三个月能快0.34ms。综合起来为正，说明整体上空间站时间流逝变慢。 另外，因为地球为椭球体，赤道相比中高纬度地区虽然线速度更大，但是因为隆起，引力势更小，在计算狭义、广义相对论效应时效果正好抵消，所以采用赤道半径和线速度不影响计算结果，对中国地区同样适用。 所以，根据相对论，中国空间站三个月比地面能慢2.3ms。 另外，扩展着说些内容。 （1）平均下来，中国空间站每天比地面能慢25.4 。别小看这点时间差异，如果不修正，那么理论上基于自身解算的定位误差每天将达到7.6km，3个月误差累计达到686km。因此相对论对时间的修正极其重要。 （2）相对论修正中狭相占主要成分还是广相占主要成分，要看航天器的运行高度。结合万有引力公式和圆周运动向心力公式，简单推导可得上述二效应相当（时间流逝快慢相抵）的航天器运行半径 ，即在距离地面高度约3173km处，时间流逝速度与地面相同。当航天器运行轨道低于此高度时，时间流逝比地球慢，狭义相对论效应占主要成分；当航天器运行轨道高于此高度时，时间流逝比地球快，广义相对论效应占主要成分。运行高度在数万公里的北斗、GPS导航卫星，它们的时间流逝都比地球快。 2021-06-27： 鉴于@李平 的建议，周末抽空用Kerr解来分析一下。 因为地球存在自转，有自转角动量，但基本认为整体电荷为0，因此可以用Kerr度规来分析。几何单位制下，以Boyer-Lindquist坐标写出Kerr真空解为 ， ， 。 近似认为空间站在一定高度圆形轨道飞行，地球表面位置也同样为圆形轨道，则 。 为了便于计算，写出Kerr真空解在 条件下的国际单位制形式： ， ， 。 当然，如果令地球单位质量角动量 ，则Kerr真空解退化为Schwarzschild真空解。Schwarzschild解是静态球对称解，Kerr解是稳态轴对称解。 我们考虑一般情况：计算地球单位质量角动量 ， 为地球自转角速度；中国空间站的轨道倾角为42°~43°，取平均值 ， 空间站横向角速度分量 ， 纵向角速度分量 （将坐标时t替换成地面固有时 ，对速度的影响不到 倍，不会对计算带来超出精度要求的影响。）； 随运行过程均发生变化， ， 。 则固有时与坐标时比值的平方 。 则空间站与地面时间差 （因 ）。 因计算过程与空间站的 有关，所以每时每刻空间站时间流逝与地面时间流逝的比值是不断变化的。空间站在赤道与最高能到达的纬度42.5°之间时间流逝速度见下图。 以空间站在赤道上空的时间流逝速度为准，一天下来比地面能慢 ；以在（南）北纬42.5°上空的时间流逝速度为准，一天下来比地面能慢 。平均下来，中国空间站一天比地面能慢 ，三个月能慢 。 2021-06-28： 略去高阶小量，可以近似推导出基于Kerr真空解的空间站与地面时间差 。 与施瓦西解相比，Kerr解除了有狭义相对论效应项和广义相对论效应项以外，还有第3项，为狭相、广相效应耦合项。需要指出的是，由于大量使用略去高阶小量的操作，上式关于 与 的函数关系已与原方程明显不同，但结果近似。 在计算角速度时，如果不直接用 替换 ，则应在角速度后配上系数 ，即 ， 、 为代入地球赤道半径 的值。 解关于 的二次方程，得 （舍去负值解）。 求出 后，再带入原方程求出 ，便可进一步得到该问题的最终解。可以看到，这样不换元直接求解非常繁琐，而结果的精度并没有显著改变，所以一般采用 替换 的方式求解。 阅读原文
