中科院物理所，没错，我就是那个物理所。 看似简单的问题其实里面其实包含了非惯性参考系、流体力学等方面的知识。 在开始正式推导之前，先摆出我们的结论。在一直加速的列车厢内，蚊子只保持悬浮状态的话确实是会甩到车后！只要车厢够长，蚊子就会相对车厢向车厢后做匀速运动。 具体的约束条件还有一些推论，比如：“蚊子的受力是怎样的？”、“蚊子什么情况下会撞在车厢前壁？”、“如果车厢被我们抽成真空，会有什么不同？”等，我们会在后续的推导中进行阐述。 问题背景（Background） 这不放暑假了，当各位小伙伴搭上回家的公交车、地铁甚至高铁，拿出手机，开始安心的进入坐享行程模式时。有可能你会遇到这种情况，我的天，高铁上竟然也有蚊子？你会不会瞬间带上痛苦面具，露出下面的表情？ 不过速度为 的高铁上的蚊子，此时岂不是正在以 的速度相对于地面运动？ 了解相对性原理的同学，肯定能知道这只是参考系的问题。车厢，车厢内的空气和蚊子，相对静止，以车厢为参考系，蚊子在车厢内就如“飞”平地。匀速阶段也不用解释太多。 好奇的同学就问了，蚊子从一开始相对地面静止是如何加速到 的速度呢？（虽然这个速度很大，但是实际上在加速阶段，高铁的平均加速度只有约 ，并不算很大） 在加速阶段，如果蚊子是在车厢内部固定表面作以停留，摩擦力做功，蚊子跟着高铁一起加速，也就和高铁轻松地达到相同的速度，就和坐在列车上的乘客一样。 猜大家点进来也不是只想看这样的结论，老师说过“做物理题一定要揣摩出题人的意图。”大家想知道的肯定是下面的内容——车厢内悬空的蚊子是如何加速到和高铁相同速度的？接下来，我们主要从定性的角度出发来解释这些问题。 NO. 1 车厢内悬空的蚊子是如何加速到和高铁相同速度的？ 为了阻止可恨的蚊子和我们保持同样的速度。假设我们在车厢内部的每个角落都抹上了一种超润滑的物质，让蚊子根本不能“搭便车”，否则就要在车厢上来一段地板动作。 此时我们假设蚊子在车厢中，并没有相对车厢前后左右的力（杠精先别抬杠），只是悬停在空中，此时竖直方向上的力达到平衡。 竖直方向上，蚊子扇动翅膀提供的升力 ，空气的浮力 ，蚊子所受的重力 三力平衡。 高铁将会以 的加速度向前运动，要知道蚊子此时是怎么运动的，最关键的是进行此时的受力分析。 NO. 2 蚊子此时如何受力？ 我们知道牛顿运动定律只适用于惯性参考系。比如在日常分析问题时，地球就是一个很好的惯性参考系。现在，高铁车厢正在相对于地面，做匀加速直线运动。显然，高铁不能被视为一个惯性参考系，它是一个典型的非惯性参考系。那么牛顿运动定律是不是在这个参考系中就完全不能适用了吗？ 聪明的科学家想到了一个办法，就是引入一个虚拟的“惯性力”。大小为 ，方向与加速度相反。虽然这个力是虚拟的，但是在非惯性系之中，引入了惯性力之后，牛顿运动定律就能重新适用了。就比如我们常说的离心力，就是引入的一种“不存在”的惯性力。那么我们看接下来的分析。 因为车厢是非惯性参考系，所以车厢内的所有物质正在受到一个大小为 ，指向高铁尾部的惯性力，就好像我们在刚启动的车上能够很明显的感受到背推感一样，我们在坐电梯的时候也会有同样失重和超重的感觉。受到的惯性力即为 在车厢内受到惯性力的不只有蚊子，车厢内的空气也受到这种惯性力。所以空气就拥有了能够让其中物体拥有指向高铁头部的等效空气浮力，我们假设空气此时是不可压缩的平衡态的流体，所以我们能够套用浮力定律来描述这种等效浮力。我们不能再将蚊子当成一个质点，我们开始关注它的形状。 说到这里，这两种力是否就已经平衡了呢？答案是否定的，如果平衡，就会得出 m 蚊=ρ空 V 排，即蚊子的密度等于空气密度，也就是说我们拿一只刚拍死的蚊子，松手之后它就会悬浮在空中，这也太离谱了。 正常情况下蚊子的密度是大于空气的。所以，从上一节中我们可以看到，在空气中蚊子除了受到浮力之外还要提供一定向上的升力，才能悬停在空中。 接下来我们要开车了！ 一旦高铁开动，由于惯性力大于等效浮力。蚊子就会相对于车厢，或者说车厢中的空气有了向车厢尾部的加速运动，这就意味着蚊子会受到相反方向即指向高铁头部的空气阻力。 蚊子相对车厢空气运动速度小，相比于压差阻力，粘滞阻力占主导，故这里采用斯托克斯定律描述阻力。假设物体是球形的，而且液体相对于球体作层流运动。则阻力大小为， 其中， 是球体的半径， 是它相对于流体的速度， 是流体的粘滞系数。 因为竖直方向上受力平衡，所以可以只分析水平方向上的受力。所以在以高铁为参考系时，受力图如图。 注意此时 是随相对速度增大而增加的，图中的箭头长度并不代表实际的大小 NO. 3 蚊子此时如何运动？ 分析完了受力，我们来分析运动，此时的蚊子其实可以继续等效成一个质点，它在高铁的系统中的运动速度会持续增大，空气阻力也会逐渐增大，这是一个变加速过程，直到 此时蚊子开始相对车厢匀速向车尾运动。并且这个过渡到稳态的时间预计不会太久，毕竟蚊子在空气中飞行的阻力是很大的，不信的话可以试试将一只死蚊子向前扔出去，应该落得不会太远。 其实以上的分析也是很好理解的，这也是为什么，天上下的雨最终是以匀速落在地上的。 雨滴最终下落的速度 来源：知乎@芝了 雨滴最终都会达到重力与空气阻力和空气浮力的平衡，以匀速落下。 我们可以合理估算一下，蚊子在这种情况下相对车厢最多有多大的收尾速度大致有多少。由前文可知高铁加速度为 ，蚊子重量一般约为 ，蚊子的大小为毫米量级，取 时，空气粘度为 。 我们大致合理估算了一下，收尾速度大约在 cm/s 的数量级（防杠补丁：由于时间仓促，小编只算了一遍，如果大家有兴趣验算的话，和该结果差太多，欢迎在评论区补充）。照这个速度运动下去，蚊子就算碰在车上也没有任何事。 NO. 4 一些奇葩的脑洞 老师也说过“做题要学会举一反三”。 现在我们假设车厢里面空气都被抽走了，会发生什么事情呢？于是上面提到的和空气有关的力都消失了，包括蚊子本身扇动翅膀的升力。所以还没等高铁开动，蚊子就吧唧一下掉地上滑走了。 大家再思考一个问题，什么情况下蚊子会因为高铁的运动而相对高铁向前运动呢？ 首先考虑一个和刚刚相反的情况，高铁是在减速运行，那么按照刚才的结论，蚊子就会相对车厢向前运动。 再进一步，如果不是蚊子而是其它的物体呢？ 给大家一个高中的物理题作为线索。 运输液体的槽车，液体上面有气泡，如图，当车向前开动时，气泡将向什么方向运动。 是的，只要悬浮的物体足够轻，它的密度小于空气的密度，就可以使等效浮力大于惯性力。它就可以向车头移动。 如果高铁的前后都是敞篷的 ，也就是说高铁里的空气是留不住的，又会发生什么呢？这时，因为加速带来的等效的浮力也就消失了，所以蚊子在高铁向前加速时并不会受到空气对它向前的空气阻力，只会呆呆的停留在原地。高铁开走后，蚊子呆呆的望着身下的铁轨，发出了灵魂的质问？ 如果我们让模型再完善一些，赋予车厢内的蚊子一定的主观能动性。蚊子现在可以上下左右前后地任意飞了。那么蚊子怎么跟上高铁的速度呢？ 就是单纯飞啊！！还管什么受力分析？ 说到最后，一切刚刚做的模型和受力在真实的蚊子身上都是那么的不值一提。真实情况下，蚊子想怎么飞就怎么飞，根本没有任何为蚊子操心的必要。 那我们用物理去解释又有什么意义？ 我们并不是看到运动就想建模，并不是看到受力就想分析，也并不是看到假科普就想去锤（其实也是）。只是希望能够让物理的理性，融入进大家日常的生活中。 物理建模就是在现象中抽象出最本质的特征，可能刚建立的模型足够简单，并不能解决实际问题，但是对于我们领悟事情背后的本质是重要的。 特别感谢可乐不加冰、NKXXX 和 C&C 提供的资料和建议！ 编辑：Kun 阅读原文
