南极捕鱼的潘达，我专业真不是下棋的 阅读原文 太长不看版：无法证明中国象棋红方有必胜或和的策略。涉及策梅洛定理、策略窃取、迫移局面。 策梅洛定理 知道策梅洛定理的人很多，我简单复述一下。 在二人完美信息回合制抽象策略游戏中，以下三者有且只有一项成立： 1、先手方有必胜策略； 2、后手方有必胜策略； 3、双方的最优策略将会导向平局。 策略窃取（围棋） 而在满足一定条件的某些游戏中，第二项“后手方有必胜策略”是可以被逻辑证否的。 比如不贴目的围棋。 证明（反证法）：假设存在白方必胜策略 P。那么黑方可以开局时就选择“停一手”。若白方也选择“停一手”，则按照规则，棋局立即结束，平局。否则若白方在棋盘上落任意一子，黑方即可窃取后手方的策略 P；这样黑方变成了实质上的后手方，采取策略 P 必胜。然而这与“存在白方必胜策略 P”矛盾，因此不存在白方必胜策略 P。 这种证明的方式即“策略窃取”（strategy stealing argument/ copycat lemma）。 策略窃取的适用范围 适用策略窃取的游戏需要满足两个条件： 1、是对称游戏。 2、某方的行动永远不会帮倒忙。 满足以上条件的游戏包括无禁手的五子棋、六贯棋、井字棋等。 用同样的方式证明无禁、不允许停招的五子棋黑先必不败： 证明（反证法）：假设存在白方必胜策略 P。那么黑方可以开局时就选择随便走一着棋 A。我们知道在五子棋中，任意“免费”的一招棋只会对局面有帮助，不会帮倒忙。因此接下来白方在棋盘上落任意一子，黑方即可窃取白方的策略 P；这样黑方变成了实质上的后手方，采取策略 P 必胜。然而这与“存在白方必胜策略 P”矛盾，因此不存在白方必胜策略 P。 不是对称游戏的例子包括带贴目的围棋、有禁的五子棋。 迫移局面（Zugzwang） 2、某方的行动永远不会帮倒忙。 这一条比较微妙。请看国际象棋的一个例子： 此局面若轮白走则是和棋，若轮黑走则黑负。所以这是一个先手方不利的局面，术语称“迫移局面(zugzwang)”。这种局面的存在，使得“策略窃取”证明在国际象棋上不成立。 象棋中不能停招，而围棋“停一招”永远合法，所以围棋中不存在“迫移局面”。 与国际象棋类似，中国象棋中也存在“迫移局面”。如下图： 因为“将帅不得见面”规则的存在，本局面红先红负，黑先黑负。 如果我们尝试用“策略窃取”证明中国象棋红方有必不败策略，仍然假设黑方有必胜策略 P；现在红方不能“停一招”。因此红方总得走一手棋 A，才能去窃取黑方的策略。然而我们不知道红方的这手棋 A 会不会让局面变得更糟（因为存在“迫移局面”），所以策略窃取证明失效。 因此我们不能通过逻辑推理证明中国象棋红方有必不败策略。 实际上，后手方有优势的对称棋类游戏是存在的，比如动物将棋。 已有研究者通过穷举证明，动物将棋的后手方拥有必胜策略。 不过，从现实出发考虑，中国象棋黑方有必胜策略的可能性非常非常低。事实上，黑方存在某种必胜策略 P，等价于中象的开局(S_0)就是迫行局面；直觉上来看这几乎不可能，但理论上我们不能排除黑棋有必胜策略的可能性——万一黑棋有办法将局面导向某种迫行残局呢？ 阅读原文
