東雲正樹，THE TARNISHED WILL SOON RETURN 阅读原文 我看很多答案其实都说对了, 当然也有些比较牵强的. 但评论区始终是有点儿云里雾里, 甚至还有人认为这是因为中文表达不了这么严密的数学逻辑··· 其实『当』,『仅当』与『当且仅当』仨词在中文日常用语中与在数学中的用法是可以完全一致的. 希望大家不要再继续将逻辑用词和汉语词汇对立起来, 逻辑学中的汉语词汇本身就属于汉语词汇, 所以当生活中用词有歧义的时候用逻辑用词的精确定义去消除歧异是可取且不会造成矛盾的, 因为日常的汉语词典给出的解释并不会精确到集合论的层面上而造成与数理逻辑用词不相容的情况. 你用真值表或逻辑词汇也许能把这仨的区别讲出来, 但很多人就是怎么都想不通, 这可能是因为他们的脑子里只有单变量映射且单射甚至双射的概念, 所以就比较难结合到实际情况去理解. 其实只需考虑到二元函数就很明朗了: 先构造一个二元函数 (充分) 如果对 均有 那我们会说当 时 注意类似于 这样的存在也是与这个情况相容的. (必要) 如果对 与 均有 那我们会说仅当 时 注意 在这里就未必等于 了, 还取决于 呢. 甚至当这个二元函数根本就不存在零点的时候我们也能这么说. (充要) 如果对 与 均有 且对 均有 那此时我们才会说当且仅当 时 所以如果脑子里只有单射甚至双射或者说根本不存在那个 而只考虑一元函数的话, 那就有点··· 而在日常生活中也是一样的: 如果我看动画片不喜欢有个比比丽丽的捞仔水印搁右上角挂着的话我可能就会这么说: (充分) 当右上角没挂比丽水印时, 我会看完这集. 这就是说我只要点开发现没水印就一定会看, 但同时我还能说如果实在没别的资源了的话有水印也勉强能冲. (必要) 仅当右上角没挂比丽水印时, 我才会看完这集. 这就是说有水印的话我必不看, 但同时我还能说如果没 1080P 的话即使没水印我也不看, 总之就是你满足了没水印这个条件后, 我依然是看不看都行. (充要) 当且仅当右上角没挂比丽水印时, 我才会看完这集. 这就是说有水印我必不看, 而无水印就必看. 这也就是说你必须考虑一个被多个因素影响的决策才能比较清晰地理解它们之间的区别. 其实硬要说的话一元函数也能讲清楚: 先构造函数 (充分) 若 那我们会说当 时 注意类似于 这样的存在也与这个情况相容的. (必要) 若对 有 那我们会说仅当 时 注意这里即使 我们还是能这么说. (充要) 如果对 有 且 那此时我们才会说当且仅当 时 而在日常生活中的单因素决策下也是一样的: 如果我看动画片不喜欢有个比比丽丽的捞仔水印搁右上角挂着的话我可能就会这么说: (充分) 当右上角没挂比丽水印时, 我会看完这集. 这就是说我只要点开发现没水印就一定会看. 而有水印的情况则可看可不看, 没有具体约束. (必要) 仅当右上角没挂比丽水印时, 我才会看完这集. 这就是说有水印我必不看. 但我也完全可以就是不想看这部动画片, 你无论如何我都是不会看的. (充要) 当且仅当右上角没挂比丽水印时, 我才会看完这集. 这就是说有水印我必不看, 而无水印就必看. 没想到这问题会有这么大关注度以至于需要补写一段来统一回复一些疑问: 不少人始终认为『仅当』一词中蕴含了充分, 那我只能这么说, 这仨词在数学上的定义就是我前面说的那样:『当』,『仅当』与『当且仅当』分别对应着『充分』,『必要』与『充分必要』. 也就是说 等价于当 则 而 则等价于仅当 有 , 也可以说成非 则非 , 因为逆否命题与原命题同真假. 最后 则是当且仅当 有 看不懂的话可以把 换成 , 而 换成 再看看. 这是数学上的表述, 是有理有据的. 其实数理逻辑用词从来就不是凭空蹦出来的, 而是取表意暧昧的生活用语规范化而来的. 但总有人说自然语言中的定义与此不同, 即认为『仅当』一词中蕴含了充分. 而自然语言的含义是人赋予的, 那么要讨论这个问题就要分为两个角度: 第一个角度是细扣这仨词的精确定义, 这就会回到逻辑用词的定义问题了, 很显然逻辑用语会与数学语言完全统一, 也只有这样才是自然的. 第二个角度则是老百姓约定俗成的说法, 你如果硬要用你的语感与用语习惯来反驳我, 那讨论的就是这个角度了, 这我确实不能把你怎么样, 因为老百姓的约定俗成是没有准确定义作为依据来判断的, 也就无所谓对错了. 你当然可以说你们寝室的『仅当』一词中蕴含了充分, 你也可以说你们家或者你们村都这样, 这些都是我管不着的. 但讨论这些也是没有意义的, 因为争不出一个高下来. 说真的, 约定俗成的事儿, 你硬是要玩的话即便是把『仅当』解释为『我觉得可口可乐真就是比百事好喝一万倍』也行的. 但是你这么整的话可能圈外人就看不懂了, 圈外人看不懂一个词就会去查, 而如果所查询的资料能细致到充分必要的问题上的话, 那结论一定是会与数学、逻辑用语一致的. 但实际上, 很多人可能在今天碰到这个问题前都没有明确的立场, 因为日常生活中可能根本不会细想这些问题. 所以我推荐大家都与数理逻辑用语中的定义保持一致, 因为这是最自然的. 其实除开这个词还有一些词例如『或』在老百姓的约定俗成下也是有点儿争议的, 因为数理逻辑中的『或』指的是并集, 而有一部分人始终认为『或』必须是二选一. 比如说班里要打扫卫生, 班主任就可能要求每位同学都去拿一根扫把或拖把来, 那你可以扫把拖把二选一, 但其实如果你俩都拿了也并没有做错什么, 因为这仍然还是符合班主任的要求的, 这就是数理逻辑中的或. 对于这类词语, 有些人会指出部分老百姓的约定俗成和数学上的定义可能会有些许出入, 但我认为这纯粹只是在平添初学者的烦恼. 不如就直接给出这些逻辑用词的准确数学定义来, 然后大家再把平时没细想过的地方都用逻辑用词的定义来规范即可. 因为逻辑用词的定义并没有反直觉的地方, 有的只是清晰与严谨. 所以我会选择让自己的约定俗成与数理逻辑保持一致只是因为如此才自然. 只要你学过哪怕一点儿数学, 有思考过数学里一些人为约定背后的考量的话, 相信关于自然的重要性就无需我来赘述了. 更重要的是,『仅当』一词不蕴含充分并不会招致任何的矛盾与逻辑错误, 所以如果你硬是觉得你的语感才比较合理也不能说我的说法是错的. 所以你即便是有话要说也只能是论述为何你的说法会更自然而无法论证我的说法是错的, 因为我的说法是由整个数学界来背书的. 最后, 对那些执着于『仅当』与『当且仅当』含义相同的人, 我只想问, 难道你们平时的生活已经简单到不需要刻画必要条件的程度了吗? 为啥要把仨好好的词中的俩合并起来呢?『当』与『仅当』分别指代充分与必要, 所以用一个『且』并起来的『当且仅当』就指代充分必要是多么自然的一件事. 阅读原文
