Geometrie，兴趣引导学习，创造价值引导工作 阅读原文 看到网上流传着非常多版本的正十七边形作图方法，这些方法的步骤繁多，难以记忆，也包含了很多“描述简单，操作复杂”的作图，如“平行线，垂线，角平分线，中点”等等。 这里提供一种作图步骤最少，几何意义最清晰的版本，相关的步骤有很好的对称性，更容易记忆，一次能作出所有的分点，避免截取误差积累，希望对大家能有所帮助。 为了确保更多的人看懂，前面会讲述较为全面的复数和初等数论基础，有相关基础的读者可以跳过前面几部分，甚至直接看最后的作图步骤，也可以按照步骤作出正十七边形。 复数相关基础 复数最早是为了求解代数方程对实数的扩展。由于在高次代数方程求解中，需要对负数开平方，而任意实数的平方都是非负数，于是引入了虚数单位，用 i 表示 -1 的算术平方根： 实数单位是 1，把实数单位和虚数单位做线性组合即可得到复数： 其中 x 和 y 是组合系数，它们都是实数，分别称为复数 z 的实部与虚部。 类似于实数的四则运算，复数也可以定义四则运算，其中加减法只需要对应的实部与部做相应的运算即可。 复数的乘法的运算要使用分配律展开，并利用虚数单位的性质： 复数除法的定义则需要使用特殊的化简技巧： 不难验证，实数满足的加法和乘法的交换率，结合率，乘法对加法的分配率，在复数运算中都是成立的。 复数与三角 用复数 z = x + yi 的实部 x 和虚部 y 构成一个点 P 的坐标(x, y)，并画在坐标系中，与坐标原点 O 相连，把 OP 的距离定义为 z 的模长r，根据平面两点的距离公式： 把 x 轴沿着坐标原点 O 逆时针旋转，当它刚好通过点 P 时，旋转的角度称为 z 的辐角，记为θ，z 也可以表示为： 利用三角表示可以更明显体现复数运算的几何意义，需要用到三角函数中的“两角和公式”： 复数的运算与三角函数会有关联：设α和β是两个角度，以它们为辐角构造两个复数： 把这两个复数做乘法，并利用三角函数公式： 由此导出复数乘法的性质：两个复数的积的模长等于因数的模长的积，积的辐角等于因数的辐角之和。 利用这个性质，可以直接导出棣莫佛定理： 分圆多项式 对于用圆规直尺 n 等分圆周问题，本质上即是用圆规和直尺的组合计算单位圆(圆心在原点，半径为 1)的 n 等分点的坐标。 由于圆规和直尺作交点只能实现加，减，乘除和开平方运算，因而只有分点的坐标能用二次根式组合表达时，才能用尺规作图实现 n 等分圆周。 根据棣莫佛定理，可以发现，下面的 n 个点的坐标构成对单位圆的 n 等分：、 它们也对应着下面的复数： 不难验证，这些复数恰好是下面 n 次多项式的复根： 这个多项式因此被称为分圆多项式。写到这里，估计你就要想了：这个多项式的根如何用根式表达呢？ 当 n = 2 时， 可以分解为 ，因而的两个根是±1。 当 n = 3 时， 可以分解为 ，然后第二项利用配方进一步分解： 由此得到它的 3 个根，分别是 1， 和 。 当 n = 4 时， 可以分解为 ，进一步分解为 因此，它的 4 个根分别是±1 和±i。 上面的复根对应的点刚好是单位圆周的分点。由于不超过 4 次的方程可以用求根公式导出根式解，所以当 n = 2, 3, 4 时，分圆多项式 的根必然可以用根式表示。 无论 n 取何值，z = 1 都是分圆多项式 的解，因而称为平凡解，而等分圆周则需要计算分圆多项式的非平凡解。 那当 n = 5 时，分圆多项式 的根可以用根式表示么？ 五等分圆周的理论求解 由于五次方程没有求根公式，所以任意一个五次方程不能确保它的根能用根式表示，但不排除特殊的五次方程能用根式解。 用根式解方程的关键就是把方程的根通过四则运算组合成中间变量，并使得中间变量满足一个次数较低的方程，称为预解方程。 对于 5 次分圆多项式 ，用ε表示它的一个非平凡解： ε的整数次幂可以表示分圆多项式的所有非平凡解： 不难验证，ε满足，对任意的两个整数 k 和 l，只要 k - l 能被 5 整数，就有 因此有下面的等式： 注意到 可以分解为 因而ε满足： 构造两个中间变量： 这两个中间变量满足特殊的性质： 根据一元二次方程根与系数的关系可见， 和 是下面方程的两个根： 利用一元二次方程的求根公式导出这个方程的根： 这两个根都是实根，而且 ，需要导出它与 和 的对应关系。 根据三角函数的性质，有： 因此有 根据余弦函数在[0, π]之间单调递减，有 再根据 ，有 有了这两个用根式表达的三角函数值，就算不具体计算ε，也足以五等分圆周了。 五等分圆周的作图 根据前面的理论，对于一个半径为 r 的圆，只需要作出 和 ，即可作出五等分点。 五等分圆周作图步骤 在图中， 是五等分⊙O 的最初分点，具体步骤如下： 作出 反向沿长半径的中点 A 作与 垂直的半径 OM 以 A 为圆心，以 AM 为半径作圆弧，分别与 所在的直线的于和 以为圆心，以为半径，作圆弧与⊙O 交于和 以为圆心，以为半径，作圆弧与⊙O 交于和 顺次连接，即得到正五边形 上面的作图一次作出全部的分点，不需要用一个长度截取，因而避免了截取过程中的误差累积问题。作图的原理也不难解释： 中点 A 的作用是作出长度为 的 OA 和长度为 的 AM，以 A 为半径在所在的直线上截取的 和 的有向长度即是 和 ，也即是前面导出的 和 。 由于以 和 为圆心作的都是与⊙O 半径相同的圆弧，因而 和 在 的垂直平分线上， 和 在 的垂直平分线上，因此，它们的横坐标即分别是 和 横坐标的一半，即 和 ，再加上它们在⊙O 上的约束条件，即可导出它们是⊙O 的五等分点。 七等分圆周可行么？ 为了强化利用“分组”思想来实现转化分圆多项式的技巧，这里试着求解 n = 7 的分圆多项式： 取非平凡解 这样分圆多项式的 6 个非平凡解为： 用分组思想构造三个中间变量： 则它们满足： 根据三次方程根与系数的关系，导出 和 是下面方程的三个根： 虽然三次方程可以用根式求解，但是求根公式中包含了三次根式，无法用圆规和直尺构造相应的运算，因此，正七边形无法用尺规作出。 但是，如果允许有一步使用特殊工具实现三等分角，则可以构造出正七边形(亲测有效)。相关的作法可以用三次方程的求根公式导出。 中间变量构造用到的数论知识 从上面的讨论可以看出，即使分圆多项式次数高于 5 次，依然有可能对它的根组合构造次数较低的方程来求解，可是如何构造呢？ 实际上，并不是任意次数的分圆多项式都可以使用这种构造思路来求解，只有 n 是素数时，这种构造才能有效。因此，这里只讨论素数次分圆多项式： 构造中需要用到“原根”的概念，先介绍费马小定理，为了叙述方便，引入“同余”概念：如果两个正整数 m 和 n 被正整数 p 做“带余除法”得到的余数相同，则称为“m 和 n 关于 p 同余”。 不难发现，“m 和 n 关于 p 同余”的等价描述是“m - n 能被 p 整除”。 对于素数 p，如果一个正整数 a 不能被 p 整除，构造由 p - 1 个整数组成的集合 S 中的每个元素都不能被 p 整除，而且 S 中的任意两个元素关于 p 不同余(它们的差是由 a 和一个从 1 到 p-1 之间的整数相乘而得到，因而不可能被 p 整除)。 这就意味着 S 中的元素对 p 取余数，组成了集合： 把 S 中的所有元素相乘，R 中的所有元素也相乘，两个积对 p 同余，这就意味着它们的差能被 p 整除(感叹号表示阶乘)： 注意到上式中(p - 1)!中的每一项都不是 p 的倍数，但乘积却能被 p 整除，因而 必然能被 p 整除，这即是费马小定理。 前面的讨论枚举了 a 的倍数，下面枚举 a 的整数次幂，构造有序集： P 中的元素显然都不可能被 p 整除，如果有两个幂次 k < l 使得 和 关于 p 同余，且它们之间的元素都不与 或 关于 p 同余，则 和 的差能被 p 整除： 由于 不能被 p 整除，因而 能被 p 整除，取 d = l - k，则对任意从 1 到 p-1 之间的整数 k， 与 关于 p 同余。 因此，P 中的元素对 p 的余数以 d 为周期重复，且每个周期最后一个元素对 p 的余数为 1，而费马小定理又能确保 P 的最后一个元素对 p 的余数为 1，这说明 p - 1 是 d 的倍数。 由此可见，a 从 1 到 p - 1 的幂次对 p 的余数有两种情况：(a) 遍历从 1 到 p - 1 的所有整数，(b) 遍历从 1 到 p - 1 的 d 个整数，其中 p - 1 是 d 的倍数。 如果 a 以从 1 到 p - 1 的整数为指数的幂对 p 的余数遍历从 1 到 p - 1 的所有整数，则 a 称为 p 的原根。 利用原根构造分圆多项式的中间变量 对于素数 p 次分圆多项式 ，用ε表示它的一个非平凡解： 它的所有解都由ε的幂次组成，总共有 p - 1 个，设 d 是能整除 p - 1 的整数，则从 1 到 p - 1 的整数除以 d 得到的余数会取 0 到 d - 1 的整数。 按照这些整数除以 d 得到的余数分类，可以分为 d 类。按下式构造 d 个集合的元素之和(mod 是指取余运算)： 则这 d 个变量有着很好的对称性，以 (k = 0, 1, …, d - 1)为根的 d 次方程系数可以利用ε的性质导出。 下面以 p = 13 为例，演示这个构造过程，不难验证，a = 2 是 p = 13 的原根，a = 2 的幂次和元素为： 这个集合对应的除以 p = 13 的余数为： 在这个例子中 p - 1 = 13 - 1 = 12，取 d = 3 即可满足 p - 1 能被 d 整除，以 1 到 12 中能被 3 整除的整数作为 a 幂次，构造变量 ： 再以 1 到 12 中被 3 除余 1 的整数作为 a 的幂次，构造变量： 最后以 1 到 12 中被 3 除余 2 的整数作为 a 的幂次，构造变量： 验证 和 组成的对称多项式(计算过于繁琐，这里只列结果)： 由此看出，这样构造的中间变量是下面的三次方程的根： 由于求根公式中存在三次根式，因而 和 也不能用尺规作图来作出。但如果允许使用一次“三等分角”操作，可以再与尺规作图组合作出正十三边形(亲测有效)。 注意到，取 d = 6 也能被 12 整除，我们可以再构造 6 个中间变量： 不难验证，这些中间变量与前面的中间变量有如下的关系： 由此可见，只要得到 和 ，我们即可以再构造 3 个一元二次方程用根式来表示 , k = 1, 2, 3, …, 6 的值。 正 17 边形理论求解 前面讨论那么多，终于来到正题。对于素数 p = 17，为了求解分圆多项式 ，设ε是它的一个非平凡解： 不难验证，a = 6 是 p = 17 的一个原根，a = 6 的整数幂次和对 17 的余数如下表： 幂次余数幂次余数幂次余数幂次余数 16579111310 22681015149 312714115153 448161213161 根据 p - 1 = 16，能整除 16 的非平凡因子有 2, 4, 8，先以 a = 6 的奇数次幂和偶数次幂对 p = 17 的余数做为指数分类并构造中间变量： 其中 中ε的幂次来自 ，k = 0, 1, …, 7， 中ε的幂次来自 ，k = 0, 1, …, 7。 然后再以 a = 6 的幂次对 4 除的余数做分类： 其中 中ε的幂次来自 ，k = 0, 1, 2, 3， 中ε的幂次来自 ，k = 0, 1, 2, 3，其中 中ε的幂次来自 ，k = 0, 1, 2, 3， 中ε的幂次来自 ，k = 0, 1, 2, 3。 通过对ε的整数次幂分类组合得到中间变量 为了让这个分类更加清晰，我们把 6 做成了一个环状排列(如上图)，并以 a = 6 的指数分别对 2 的余数和对 4 的余数分类，a = 6 的指数对 17 取余得到的即是ε的指数，分类组合即得到了中间变量。 利用ε的性质不难验证， 和 满足： 同时也不难验证， 和 满足： 最后，整数倍的余弦值满足： 由此可见，17 次分圆多项式可以转化为全都是一元二次方程的组合，因而它们的解必然都是二次根式的嵌套，可以用尺规作图来作出。 在给出作图步骤之前，需要先用不等式排列一下这些中间变量的大小，根据余弦函数的性质，不难导出下面的不等式： 这些不等式是为了在解出一元二次方程以后，区分正负根。 作图步骤的设计思路 大部分十七边形作图步骤的版本都是先用二次根式表达出这些方程的解，再用作图方法构造加减乘除和开平方运算。但是这样会导致作图步骤太过繁琐。这里给出直接利用作图解方程的策略： 设 和 是两个未知量，并且满足： 下面寻找利用作图实现 和 构造方法，其中的原理是切割线定理的推论。 利用尺规作图实现一元二次方程的求解 上图的作图步骤如下： 在坐标系的 x 轴上作出点 在坐标系的 y 轴上作出点 以 M 为圆心，以 ON 的长为半径画弧 以 N 为圆心，以 OM 的长为半径画弧 作出两弧的交点 I 在坐标系的 y 轴上作出点 U(0, 1) 以 I 为圆心，作出过点 U 的圆，交 x 轴于和 点和的横坐标即为需要计算的和 这里面的原理就是构造了矩形 OMIN，M 是 和 中点，因此 得以满足。 在 y 轴上作出 Q(0, q)，根据 N 的作图，N 是 UQ 的中点，这使得以 I 作的圆也经过 U 和 Q，因此有 上面的作图就算 p 或 q 是负的，依然可以作出方程的解，因而具有通用性。另外，这个作图利用了坐标系的直角特性，省去了“作垂线”的操作(这个操作描述简单，但实际应用很繁琐)。 正十七边形的作图步骤 这里将利用前面求解 17 次分圆多项式的结果和求解一元二次方程的作图构造正十七边形。由于作中点的步骤也不简单，所以也需要提前计算方程系数的一半。 第一步是作出 和 ，根据前面的理论，它们满足 先把单位圆周放在坐标系中，然后把竖直向上的半径取中点 M，水平向左的半径取 8 分之 1 点 A，如下图： 对第一步中间变量的作图求解 在上图中，以 A 为圆心作过 M 点的圆， 交水平轴于 和 ，利用中点性质和切割线定理不难验证， 和 的横坐标即分别是 和 。 然后需要作出 和 ，根据前面的推导，它们满足： 下图所示的作图即是对这些方程的求解： 对第二步中 间变量作图求解 在上图中，分别以 和 为圆心作过点 M 圆弧 和 ，作出弧 与 x 轴的交点 和 ，作出弧 与 x 轴的交点 和 ，再次利用中点的性质和相交弦定理即可导出， 和 的横坐标即是需要求解的 和 。 再下一步即需要利用来求解 的值，这一步求解的步骤较为繁琐，首先需要把放在 x 轴上的 和 搬运到 y 轴上，如下图： 作图实现数据的搬运 上图中，搬运的竖直基准位置是从 M 点开始的要求有： 注意到 和 在 O 的右侧，被搬运到了 M 的上方构造出了 和 ， 和 在 O 的左侧，被搬运到了 M 的下方构造出了 和 ，这些搬运操作本质上是为了构造 和 ，从而为进一步的作图解方程作准备。 方程的求解分两步进行，第一步是构造矩形，如下图： 求解方程的第一步，构造矩形 上图总共构造了 4 个矩形，分别是： 和 ，注意构造方法不是作垂直，而是用圆弧画交点，从而减少作图步骤和额外痕迹。这些矩形的新顶点 和 将作为圆心画弧，如下图： 最后的求解 在上图中，N 是单位圆与 y 轴上半轴的交点，分别以 和 作过点 N 的圆弧，4 个圆弧与 x 轴交于 8 个交点，这 8 个交点的横坐标即为 的值，以这 8 个交点为圆心作单位圆，即可作出等分圆周的 17 个交点，如下图： 圆周 17 等分点的构造 顺次连接上图中的分点，即可得到正十七边形： 正十七边形 前面的作图除了最初的坐标系构建，完全没有“描述简单，操作复杂”的作图步骤，仅是由画弧，作交点等步骤完成，同时也减少了“串联”步骤引起的误差积累。 总结和问题的相关花絮 等分圆周问题牵扯到了初等代数，初等几何，三角，复数，初等数论等学科的知识，是一个有趣的题目，希望读者通过读本文能有所收获。 不难发现，前面提到的方法如果能作正素数 p 边形，则 p 必须满足 p - 1 是 2 的整数次方的特殊素数，这类素数由费马最早提出，因而称为费马素数，它的通项是： 需要特别指出的是，如果上式中 2 的指数不符合 的形式，则不能构成素数。目前人类发现的费马素数仅有 5 个，即： 正 257 边形和正 65537 边形的作图也有人给出，极为繁琐。欧拉证明了 不是素数，他的证明方法技巧性很强： 虽然目前没有找到更多的费马素数，但也不能证明没有更多的费马素数。总体来看，人类能够作出的正素数边形少的可怜，但这些成果是很漂亮的趣题，值得我们掌握。 阅读原文
