大模头，公众号：数学模型（ID:MATHmodels） 阅读原文 答案是肯定的！美国著名的科普电视节目《流言终结者》中就曾做过摩托车能否滑水的测试实验[1]。节目主持人杰米和亚当找来了摩托车特技选手来进行实验，特技选手骑着摩托车从陆地加速驶入湖面，很轻松就穿过了 15 m 和 30 m 的湖面（图 1）。高速摄像机显示，摩托车确实是贴着水面行驶的。摩托车在穿越水面时，车轮有几次弹跳现象。 图 1: 高速行驶的摩托车顺利滑过湖面 由于太过好玩，节目主持人杰米也亲自尝试了一番，最终杰米驾着摩托车在水面上滑行了 100 多米才落入水中（图 2）。 图 2: 高速行驶的摩托车水面滑行百米 实验已经证实：高速行驶的摩托车确实可以在水面行驶一段距离。但摩托车为什么能在水面上行驶，摩托车在水面上是如何运动，如何才能在水面上行驶出更大的距离？本文将通过运动方程的建立和数值求解，并结合量纲分析来回答这些问题。 模型 摩托车之所以能在水面上行驶，其实原理和滑水运动中的滑板差不多。接下来本文先分析滑水运动中滑板的受力，然后在此基础上再分析摩托车滑水时车轮的受力，并由受力分析导出摩托车滑水的运动方程。最后再通过量纲分析尝试寻找水面最大行驶距离与各参数的关系。 滑板模型 滑水运动和放风筝的原理类似[2,3]，风筝能飞上天空是靠着风筝面有一个倾斜角度迎着风。这个适当的“迎风角”，使风力形成往上飞的升力。只不过光有风力还不够，要想成功地让风筝飞上天，还须要有拉风筝的线。只要接线的位置恰当，可以让升力等于风筝本身的重力达到静力平衡，风筝自然就能徜徉在蓝天之中。 图 3: 滑板模型示意图 如图 3 所示，滑水运动中滑水板与水面也有一个倾斜角度 。当滑板相对于水有一个速度 时，大量水分子会以水平速度 撞击滑板的下表面然后以速度 反弹。为了简单起见，假设这种碰撞是弹性的，即碰撞前后水分子相对滑板的速度大小相等。根据图 3 可知 其中 和 分别表示水平和竖直方向上的单位向量。在时间间隔 内，与滑板下表面碰撞的水质量为 其中 为水的密度， 为滑板浸入水中的深度， 为滑板的宽度。因此，碰撞前后水动量的变化可表示为 由动量定理可得滑板作用在水上的力为 根据牛顿第三定律，水作用在滑板上的力与滑板作用在水上的力大小相等方向相反。因此，滑板受到水的作用力为 该力的水平分量与外部牵引力平衡，竖直分量与运动员的体重平衡（忽略滑板的重力和浮力）。该作用力还可以表示为 其中单位向量 表示水对滑板作用力的方向。容易证明该方向垂直于滑板平面向上，感兴趣的读者可以自行证明。 车轮模型 摩托车的车轮与水的作用要比滑板复杂得多。由于摩托车后轮驱动，前后轮与水之间的作用机制并不一样。为简化问题，我们考虑一个具有水平平动速度为 ，但不旋转的摩托车车轮（图 4）。 图 4: 车轮模型示意图 车轮与滑板不同的是，它不再是平面，而是曲面。这表明水在车轮的不同位置施加的力是不同的[4]。考虑角度 处的一个微元 ，由滑板模型可知，在 处车轮受到水的作用力 的方向为 微元 对应的 方向上的长度为 由滑板模型可知，水作用在微元 上的作用力为 对上式中的 从 0 到 = （车轮与水面相交点的角度）积分，可得车轮上受到水的作用力 运动方程 在车轮模型中，我们最终得到了水对车轮的作用力。水对车轮作用力的水平分量与车轮的水平速度方向相反，水会阻碍车轮的运动，使其运动速度减小。水对车轮作用力的竖直分量为摩托车提供了一个向上的托举力。如果速度足够大，该托举力是有可能超过摩托车及人受到的重力的，使车轮在水面上发生弹跳。忽略空气阻力的影响，车轮发生弹跳并脱离水面时只受重力。由于我们重点关注的是车轮完全或大部分在水面以上时的运动，因此忽略浮力的影响。同时车轮在竖直方向的速度相比于水平方向很小，我们忽略由于竖直方向上的运动导致的水对车轮的作用力。因此，车轮在水平方向的运动方程为 车轮在竖直方向的运动方程为 需要注意的是，以上两式已经将 替换成为 。由以上两式构成的微分方程组即可确定任一时刻车轮的运动状态。 行驶距离 在车轮模型中，水会阻碍车轮的运动，使其水平运动速度越来越小，最终没入水中。本节将利用量纲分析[5]尝试寻找车轮没入水中前在水面行驶的最大距离对各参数的依赖关系。我们将车轮没入水中一个半径的深度前所行驶的距离定义为最大行驶距离。最大行驶距离 应是水平初速度 、车轮质量 、半径 、宽度 、重力加速度 、流体（水）密度 的函数： 上式中各物理量的量纲分别是为： = = = ， = ， = ， = ， = 。取 、 和 为基本量，于是有以下无量纲关系： 无量纲最大行驶距离 很可能是上式最右端三个无量纲数的幂函数之积。由于运动方程中 和 总是以乘积的形式出现，因此 和 应具有相同的幂次。据此，最大行驶距离对其它参数的依赖关系可能为 其中 、 和 为待定参数。上式表明， 与 可能存在线性关系，稍后我们用运动微分方程的数值解来验证这一关系。 结果 虽然由模型确定的微分方程组没有解析解，但可以借助计算机求解数值解。假设人车质量 = 200 kg，车轮半径 = 0.5 m，车轮宽 = 0.1 m，水的密度 = 1000 kg/m ，重力加速度 = 9.8 m/s 。车轮竖直方向初始速度 m/s，水平方向初始速度 = 20, 30 或 40 m/s。车轮的初始位置为 = = 0 m。应用 MATLAB 中的函数 ode45 对车轮运动方程进行求解，得到的结果如图 5 所示。 图 5: 不同初始速度下车轮行驶轨迹 结果表明，摩托车初始水平速度越大，在水面行驶的距离就越远。水平初始速度为 40 m/s 时，摩托车在水面行驶的距离超过 220 米。由于水的作用，车轮在行驶的过程中会一直在水面弹跳，但随着速度的下降，弹跳的幅度越来越小，最终沉入水中。水平初速度越小，车轮在水面完成的弹跳次数也越小。当水平初速度小于 10 m/s 左右（临界速度）时，车轮在水面无法完成一次弹跳。并且车轮的整运动过程中，水对车轮的竖直作用力都小于人和摩托车的重力。因此，要想摩托车能够在水面行驶，水平初速度必须大于某个临界速度（水面行驶所需的最小初速度），稍后我们讨论临界速度的具体大小。 初始高度 如果车轮离水面的初始高度 > 0，是否会更有利于摩托车在水面行驶出更大的距离呢？通过调整车轮距离水面的初始高度 ，我们发现当 降低为 0 时，在各个初始水平速度下，车轮在水面行驶的距离都是最大。图 6 显示的是初速度为 = 40 m/s 的情况。因此，摩托车在陆地上的跑道终点应该尽可能与水面相平，这样才能使摩托车在水面行驶更大的距离。 图 6: 不同初始高度下车轮行驶轨迹 行驶距离 接下来本文研究一下人车质量、车轮半径和宽度对水面行驶距离的影响。通过在图 5 模拟的基础上，对人车质量 、车轮半径 和宽度 分别增加或降低 50%，计算得到各速度下的水面行驶距离如图 7 所示。结果表明：人车质量 越小，车轮半径 和宽度 越大，越有利于摩托车在水面上行驶出更大的距离。 图 7: 参数变化对最大行驶距离的影响 在关于行驶距离的模型中，本文通过量纲分析得出 与 可能存在线性关系。为验证量纲分析得到的结论，对图 7 中的速度和行驶距离无量纲后取对数得到 与 的关系（ 图 8）。结果显示：不同参数取值情况下， 与 都存在两段线性关系。 图 8: 不同参数下无量纲速度与行驶距离的关系 第一段线性关系：车轮水平初速度小于临界值，水对车轮的作用力不足以抵抗摩托车的重力，摩托车无法在水面行驶。从图 8 可以看出，第一段线性关系的斜率和截距与 、 和 无关。因此，在第一段线性关系 = 0，即： 其中 和 的下标“1”是用来区别于第二段线性关系。通过拟合可得 = 1 和 = 1.4687。 第二段线性关系：车轮水平初速度大于临界值，水对车轮的作用力可以支持摩托车在水面行驶一段距离。我们发现在这种情况（初速度大于临界值）下，改变 和改变 对 的影响几乎完全相同（图 7）。对 而言， 和 应有相同幂次，即 2 - /2 - 1 = 。因此，第二段线性关系的形式为： 图 8 中各线的第二段斜率几乎相同，该斜率即为 ，通过拟合可得 = 2.9365 和 = 0.2344。上式表明，各参数下 和 + ( /2-1) 存在统一的斜率为 1 的线性关系（图 9）。 图 9: 第二段线性关系的验证 第一段线性关系的直线方程与第二段线性关系的直线方程的交点即为临界速度。据此可求得临界速度的表达式： 应用上述无量纲分析结果，我们对人车质量 m = 200 kg，车轮半径 R = 0.5 m 和宽度 w = 0.1 m 的情况进行预测（图 10）。 图 10: 实际结果与量纲分析预测结果的对比 图 10 显示，预测结果（两段线性关系和临界速度）与微分方程数值解结果都吻合得很好。 结论 本文针对摩托车为什么能在水面上行驶这个问题进行了建模分析。通过参考滑板滑水原理，建立了车轮的运动方程。车轮运动方程的数值解表明：摩托车想要能够在水面行驶，水平初速度必须大于临界速度。水平初速度越大，人车质量越小，车轮半径和宽度越大，越有利于车轮在水面上行驶出更大的距离。特别的，对于人车质量 = 200 kg，车轮半径 = 0.5 m，车轮宽 = 0.1 m 的情况，其临界速度约为 10 m/s。在水平初速度 = 40 m/s 时，摩托车在水面行驶的最大距离可达 220 米。 此外，本文还尝试利用量纲分析尝试寻找水面最大行驶距离对各参数的依赖关系，并通过运动方程的数值解得到了验证。 参考资料 [1] Mythbusters. Motorcycle water ski, 2017: https://www.youtube.com/watch?v=27BBPlnuAaA [2] Sarah Winkler. How waterskiing works, 2009: https://adventure.howstuffworks.com/outdoor-activities/water-sports/wakeboarding.htm [3] WAKEBOARDING. The physics of wakeboarding and water skiing, 2021: https://www.surfertoday.com/wakeboarding/the-physics-of-wakeboarding-and-water-skiing [4] David Zaslavsky. Riding on water, 2013: https://www.ellipsix.net/blog/2013/06/riding-on-water.html [5] Tan QM. Dimensional analysis: with case studies in mechanics. 2011. 阅读原文
