TravorLZH，瞌睡家 阅读原文 第一次看到这个知乎问题的时候我还是个对高等数学和数论一窍不通的初中生。但很荣幸我在高中毕业之前把陈景润的 1+2 弄明白了。 @酱紫君 、 @丧心病狂刘老湿 、 @Kushim Jiang 的回答都很详细，但是没有抓到 1+2 问题的本质。反而将陈景润的证明神秘化了。下面笔者就从历史发展的角度把 1+2 的思路简单讲解一下。 为了方便表述，我们接下来用 来表示将偶数 x 写成一个不超过 a 个素数的乘积与一个不超过 b 个素数的乘积之和的方法数。那么 计算的便是将偶数 x 写成一个素数与一个不超过 c 个素数的乘积之和的方法数。下面我们就来介绍一下陈景润是如何证明 的。 筛法、筛函数 与命题 1+4 对于一个正整数 n，我们可以根据抽屉原理得知这个数中 的素因子个数最多只有 。利用这一点，我们就可以构造筛法（sieve）。让 表示满足下列条件的素数 p 的个数： 其中 表示全体大小不超过 z 的素数。结合之前的说明我们就可以发现对于所有的正整数 c 均有： 一般而言 c 在很大的时候我们可以通过证明(2)的右侧非零来证明命题 1+c。但事实表明这种朴素的筛法在 c≤3 的时候就没法给出正下界了，因此以(2)为基础的哥猜研究只做到了 1+4： TravorLZH：哥德巴赫猜想（8）——命题 1+4 的无条件证明 加权筛法、筛函数 与命题 1+3 之所以我们难以 z 很大时给出 下界是因为此时用这样的方法来筛出的殆素数（即素因子个数不超过定值的整数）个数会比实际的个数小很多。因此这个时候我们不必要求 x-p 的素因子都要大于 z，但我们可以通过非常简单原理来限制 x-p 中≤z 的素因子个数。换言之，我们不奢望把≤z 都素因子全部筛完。 现在我们研究这样一个用 表示满足以下条件的素数 p 的集合： 其中 、 。现在我们再用 表示属于 且满足 的素数 p 之个数。 对于所有的 我们发现： 结合(5)我们就可以发现落在超过 n 个不同 中的素数个数不超过 。则此时用 表示 中最多同时落在 m 个 中的素数个数时就有： 事实上这些集合的大小都是通过筛法来计算的。一方面结合(3)我们可以发现： 另一方面对于素数 p'>z，我们用 计算满足下列条件的素数 p 之个数： 便可发现 。将这些结果代入到(4)中，便有： 由于(6)中的和式前面出现了权重 ，所以这种筛法被称作加权筛（weighted sieve）。 这种加权的思想最初是 Kuhn 在研究整系数多项式的素数分布时想出来的，后来王元通过将这种思路引入哥德巴赫问题中证明了 2+3[1]和 1+3。 结合这个定义，我们就可以发现当 y=x、m=1、u=3 时 就可以用来估计 1+3 问题的下界。由于 v 较小时蓝色部分会太小而 v 较大时红色部分会太大，所以最终数学家们选择了用 v=10 时的加权筛法来给出了 x 充分大时 的正下界： 解析数论中 log 永远指代以 e 为底的自然对数。 这里的棕色系数 2.6408 是陈景润利用 Jurkat-Richert 定理[2][3]得到的。乘积 被称为哥德巴赫问题的奇异级数（singular series）。但由于笔者还没读懂 Jurkat-Richert 定理的证明，所以只能通过王元构造的初等 Brun-Buchstab-Selberg 筛法证明把棕色系数更换成 2.0586 的下界： TravorLZH：哥德巴赫猜想（9）——命题 1+3 的无条件证明 陈景润的筛法与命题 1+2 虽然现代的教材都倾向于将陈景润的筛法也归类于加权筛法（这也是为什么几位高赞回答都提到了所谓的“权重选取”问题）。但这样反而将陈景润构造 下界的思路隐藏起来了。从上面的定义中我们可以发现加权筛函数 筛出的素数 p 总是可以分成下面三种情况： 1、 ，其中 。 2、 ，其中 。 3、 ，其中 。 从中我们可以发现只要能将第一种情况从 中剔除就可以得到 1+2 问题的上界。下面我们就来分析一下怎样计算满足情况 1 的素数个数。由于 所以有 ，因此当我们让 表示下列条件： 则满足情况 1 的素数 p 的个数不超过 ，利用对称性我们定义： 时我们就可以用 来估计满足情况 1 的素数个数上界。将这个公式与(7)结合，我们就得到了： 陈景润写下这个公式时认为它是“显然”的，但一个在这个领域中博览群书的人可以发现(9)的构造确实是相当自然的。 利用自己的独特方法，陈景润证明了 x 充分大时 。于是再结合(7)，便有： 如同之前所说，因为紫色系数 0.67 依赖于 Jurkat-Richert 定理，所以笔者只得到了将紫色系数更换成 0.084 的 下界： TravorLZH：哥德巴赫猜想（10）——陈景润定理的完整证明 阅读原文
