大模头，公众号：数学模型（ID:MATHmodels） 阅读原文 问题 我先重述一下问题！如图１ 所示，已知卷状厕纸外半径为 ，内半径为 ，一层纸厚为 ，厕纸卷的层数 = ( - )/ ，要求卷状厕纸的总长度 。 图 １: 厕纸的几何参数 模型等面积模型 一种最简单、也最容易想到的方法是利用厕纸卷展开前后侧面积相等来计算。 图 2: 等面积模型示意图 如图 2 左所示，未展开的厕纸卷侧面可近似为一个外半径为 ，内半径为 的圆环，其面积为 如图 2 右所示，如果把厕纸卷展开，则侧面圆环变成长度为 ，厚度为 的矩形。因此，侧面积还可以表示为 由以上两式得到的面积相等，可得一卷厕纸的总长度为 这就算完了？模型和结果也太简单了吧，显然满足不了我们“弃简从繁”的需求！接下来我们尝试一些更“高级”、更有趣的模型。 同心圆模型 除了上面连小学生都会的等面积模型，还可以通过加和每一圈纸的周长来计算厕纸的总长度。为了简化问题，我们将厕纸卷近似为一圈圈的同心圆（图 3）。 图 3: 同心圆模型示意图 由于相邻层圆环半径相差 ，第 1、2、 、 层半径分别为： 显然，厕纸的总长度可以表示为所有层圆环的长度之和，即： 注意，上式给出的结果与等面积模型的完全一样。这是因为同心圆模型与等面积模型没有实质差别（图 4），每个圆环的周长乘以厚度 就转化为了面积。 图 4: 同心圆模型与等面积模型 因此，在同心圆模型中，周长的加和本质上就是面积的加和。 螺旋线模型 上一个模型中，我们假设厕纸卷一圈圈半径的增大是离散的。实际上，卷纸半径随着纸的缠绕角度逐渐增大更符合直观。 图 5: 自然界中的螺旋线 数学上将旋转半径匀速地随旋转角度增大而产生的轨迹称为阿基米德螺旋线，自然界中也有很多类似螺旋线的结构（图 5）。因此可将卷纸假设为阿基米德螺旋线[4]。 图 6: 螺旋线模型示意图 阿基米德螺旋线在极坐标下可表示为 ，其中 是缠绕角度， 是纸张在该角度的半径。纸卷缠绕的总角度为 ，半径由 变为 + ，即 = ， = + 。因此 的形式如下 将整个螺旋线分成 段弧，第 段弧 的长度为 ， , , 。由于纸张的厚度相对于其长度来讲非常小，弧 对应的角度 较小，曲率半径变化 。当 （即 0），螺旋线的总长度可近似为 因此，则整个卷纸的长度可以由以下积分近似 我们惊奇的发现，上式给出的结果与前两个模型的完全一样。但实际上，上式给出的并不是螺旋线的精确长度，螺旋线的精确长度可由光滑曲线的弧长公式[5]求得： 实际上，上式中的 正是我们之前为了近似而忽略掉的曲率半径变化 。上式较为复杂，但考虑到 ，上式可近似为 将以上结果与等面积模型（或同心圆模型）结果对比，不难发现，螺旋线模型的结果仅比等面积模型多出一项 ，而多出的这一项显然远小于 2 + 。因此，螺旋线模型的数值结果应与前两个模型没有明显差别，我们将在稍后的实例计算中验证这一推论。 更懂卷模型 同心圆模型假设一圈圈厕纸的半径是离散的，而螺旋线模型假设厕纸半径是连续均匀变化的，这两个模型都不是厕纸卷的完美近似[6]。真正的厕纸卷并不是以同心圆或螺旋线的方式缠绕在纸芯上的。 图 7: 没有人比我更懂卷 如图 8 左所示，将厚度为 的纸的一端固定于圆柱（纸芯）上，然后旋转圆柱，纸逐渐缠绕在圆柱上。圆柱旋转的角度接近完整一周（还差 ）时，纸张的缠绕半径都是相同的，这形成了圆环的一部分。在旋转角度 2 - 角后，纸张与圆柱相切并从该切点直接延伸到接触点。然后以接触点为中心，纸张转过 角。至此，圆柱完成了一圈的旋转，也形成了圆柱上的第一圈纸。 图 8: 更懂卷模型示意图 仔细观察，发现第一圈纸可分为三部分：圆环的一部分（绿色），矩形（红色）和扇形（蓝色）。这三部分是由角 所分割开来的， 是直角三角形的一个角，其大小为 其对边长度即切点到接触点的距离，可由勾股定理求得： 当圆柱继续转动，纸张一层一层的绕在圆柱上，最终形成图 8 右的结果。不难发现，每一层纸都由一段部分圆环（绿色）、一段矩形（红色）和一段两蓝线所夹区域（蓝色）组成。两蓝线的夹角与 相等。最终形成的卷纸也可以分为三部分：圆环的一部分（绿色），矩形（红色）和扇形（蓝色）。绿色区域是部分圆环，其面积为 红色区域是矩形，其面积为 蓝色区域是扇形，半径为 - - ，其面积为 因此，由等面积可以求得卷纸的总长度为 考虑到 = + 和 = ，上式可化为 将以上结果与等面积模型（或同心圆模型）结果对比，不难发现，上式的结果仅比等面积模型多出右侧后两项，而多出的这两项显然远小于 + 。因此，由上式计算得到的数值结果应与等面积模型没有明显差别，我们将接下来的实例计算中验证这一推论。 结果 为了验证模型，我们以某品牌传统型卷状厕纸[7]为例，计算其长度并与其包装上的标注长度比较。为了应用模型计算该型号厕纸长度，需要知道该型号厕纸卷的相关参数。经测量，该型号未使用全新厕纸的参数（图 9）如下：外径和内径的均值分别为 110 mm 和 50 mm，因此，外半径和内半径分别为 = 110/2 = 55 mm 和 = 50/2 = 25 mm；叠在一起的 10 层厕纸总厚度约为 3.2 mm，因此一层厕纸的厚度 = 3.2/10 = 0.32 mm，层数为 = (55-25)/0.32 94。 图 9: 厕纸的参数测量 将这些参数分别代入同心圆（等面积）、螺旋线和更懂卷模型，得到各模型算得的厕纸长度分别为 23648 mm，23648 mm 和 23643 mm。几种模型给出的结果并没有什么明显差别，都约为 23.6 m。而实际该厕纸包装上标注的长度为 23 m（图 9）。模型计算出的厕纸长度与包装上的标注长度之间相差仅 2.6%。 结论 针对一卷厕纸有多长这个问题，本文分别建立了等面积、同心圆、螺旋线和更懂卷模型。这四个模型依次由易到难（适合不同层次的读者），但都仅需要知道厕纸卷的内外半径和一层纸的厚度就可以计算出厕纸的总长度。通过对各模型的厕纸长度表达式对比发现，四个模型给出的结果相同或相近。为了验证模型，我们将这四个模型应用到某型号的厕纸上。四个模型给出的结果几乎没有差别，都约为 23.6 m，这与该型号厕纸包装上的标注长度（23 m）仅相差 2.6%。 通过比较四个模型，我们发现，尽管螺旋线和更懂卷模型比等面积和同心圆要复杂得多，但复杂的模型并没有得到明显更好的结果。因此，对于仅关心厕纸长度的人来讲，等面积模型就已经是一个足够简单和足够精确的模型。而对于关心厕纸到底是如何卷在纸芯上的人，更懂卷模型是一个很好的演示。 图 10: 线轴上的线有多长? 本文针对的问题是二维的，所建立的模型也都是二维的。现实生活中还存在类似的三维问题，如线轴上缠绕的线（图 10）。但实际上，本文的模型也可以稍作扩展来解决这些三维问题。例如对于线轴问题，可将线轴上每一层线想象成一层纸，而每一层线又都是三维螺旋。关于线轴上的线有多长，这里就不再展开讨论，有兴趣的读者可参考本文模型自行建模计算。 参考资料 [1] 标准起草小组. 《绿色产品评价纸和纸制品》国家标准编制说明, 2017: https://www.energylabelrecord.com [2] 大模头. 为什么我鼓励大家不擦屁股? 2021: https://mp.weixin.qq.com/s/KxaPBl2GP_mXgZlw0yD2kA [3] Martin Armstrong. The u.s. leads the world in toilet paper consumption, 2018: https://www.statista.com/chart/15676/cmo-toilet-paper-consumption [4] Peter R Johnston. How long is my toilet roll?–a simple exercise in mathematical modelling. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 44(6):938–950, 2013.: https://www.google.com [5] UT CALCULUS. Arc length of polar curves: https://web.ma.utexas.edu/users/m408s/m408d/CurrentWeb/LM10-4-4.php [6] Jan. Calculating the length of the paper on a toilet paper roll, 2016.: https://math.stackexchange.com/questions/1633704/calculating-the-length-of-the-paper-on-a-toilet-paper-roll [7] Tork. Tork conventional toilet roll advanced –2-ply, 2020: https://www.tork.co.uk/product/100200/refill/toilet-paper 阅读原文
